2鹿児島大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) $A=\log_2 a,\ B=\log_2 b,\ C=\log_2 c$ とおく。 $a,b,c>1$ より $A,B,C>0$ であり、対数関数は単調増加だから $A,B,C$ は互いに異なる。また、$\log_8 b=B/3$、$\log_8 c=C/3$ である。第一の等式から $$\displaystyle A-\frac{B}{3}=B-\frac{C}{3}\quad\text{より}\quad C=4B-3A.$$ 第二の等式は、分母が正であることに注意して $$\displaystyle \frac{3A}{B}=\frac{3B}{C}\quad\text{より}\quad AC=B^2$$ となる。ここで $u=A/B$ とおくと、$C/B=4-3u$ だから $$u(4-3u)=1\quad\text{より}\quad(3u-1)(u-1)=0.$$ $u=1$ のときは $A=B=C$ となり、互いに異なるという条件に反する。よって $u=1/3$、さらに $C/B=3$ であるから、$A:B:C=1:3:9$。

(2)(a) $t=x+1/x$（$x\ne0$）より $$\displaystyle t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2},\qquad t^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right).$$ したがって $$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2,\qquad x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t.$$

(2)(b) 分子と分母を各項に分けて $$\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2} =2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5.$$ (a) の結果と $t=x+1/x$ を用いると、 $$2(t^2-2)-3t-5=2t^2-3t-9.$$

(2)(c) 定数項が $2$ なので解は $x\ne0$。よって方程式を $x^2$ で割り、(b) の式を用いると $$2t^2-3t-9=(2t+3)(t-3)=0.$$ したがって $t=3$ または $t=-3/2$。それぞれ $x+1/x=t$ に戻すと、 $$\displaystyle t=3:\quad x^2-3x+1=0\quad\text{より}\quad x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2},$$ $$\displaystyle t=-\frac32:\quad x^2+\frac32x+1=0\quad\text{より}\quad x=\frac{-3\pm i\sqrt{7}}{4}.$$ 以上が複素数の範囲での4解である。実数解に限る場合は、後者の二次方程式の判別式が $-7/4<0$ なので、$x=(3\pm\sqrt{5})/2$ の2つである。