鹿児島大学 2014年数学第4問解答・解説

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1問題

鹿児島大学2014年度第4問

次の各問いに答えよ。

(1) $\theta$ を媒介変数として， $\begin{cases} x=\theta-\sin\theta,\\ y=1-\cos\theta \end{cases}$ で表される曲線の $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。

(2) 2つの曲線 $y=e^{-x}+1,\quad y=3(e^{-x}-1)$ の交点の座標を求めよ。ただし， $e$ は自然対数の底とする。

(3) (2) の2曲線と $y$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする。 $D$ の面積を求めよ。

(4) (3) で与えられた $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad y=x+2-\frac\pi2\quad$ 。 (2) $\quad (-\ln2,3)\quad$ 。 (3) $\quad 4\ln2-2\quad$ 。 (4) $\quad 8\pi(1-\ln2)\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $x'=1-\cos\theta$ , $y'=\sin\theta$ 。 $\theta=\pi/2$ で点は $(\pi/2-1,1)$ 、傾きは $y'/x'=1$ 。接線は $y=x+2-\pi/2$ 。

(2) $u=e^{-x}>0$ と置くと $u+1=3(u-1)$ より $u=2$ 。従って交点は $(-\ln2,3)$ 。

(3) $-\ln2\le x\le0$ で上側は $e^{-x}+1$ 、下側は $3(e^{-x}-1)$ 。面積は $\displaystyle \int_{-\ln2}^0(4-2e^{-x})\,dx=4\ln2-2.$ (4) 同区間で両曲線はx軸上にあり、回転断面は外半径 $e^{-x}+1$ 、内半径 $3(e^{-x}-1)$ の円環。従って $\displaystyle V=\pi\int_{-\ln2}^0\{(e^{-x}+1)^2-9(e^{-x}-1)^2\}\,dx =\pi[4e^{-2x}-20e^{-x}-8x]_{-\ln2}^0=8\pi(1-\ln2).$

この問題で使う考え方

媒介変数微分
置換と交点計算
上下関係の確認と定積分
円環断面積分

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