1旭川医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

曲線を $x=f(t)=e^{kt}\cos t,\ y=g(t)=e^{kt}\sin t$ とする。点 $P=(a,b)$ に対応する媒介変数を $t_0$ とおく。

(1) 微分すると $$x'=e^{kt}(k\cos t-\sin t),\qquad y'=e^{kt}(k\sin t+\cos t).$$ 点 $P$ では $x'=ka-b$, $y'=kb+a$。仮定 $ka\ne b$ より接線の傾きは $$\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=t_0} =\frac{kb+a}{ka-b}.$$

(2) 接線方向ベクトルを $v=(ka-b,kb+a)$ とおく。ある $c\ne0$ に対し $\overrightarrow{PQ}=cv$ である。また $$(a,b)\cdot v=k(a^2+b^2),\qquad |v|^2=(ka-b)^2+(kb+a)^2=(k^2+1)(a^2+b^2).$$ 従って $$\displaystyle |\cos\theta| =\frac{|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{PQ}|}{|\overrightarrow{OP}|\,|\overrightarrow{PQ}|} =\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}.$$

(3) $\tan\alpha=k$, $0<\alpha<\pi/2$ より $$f'(t)=e^{kt}(k\cos t-\sin t) =e^{kt}\sqrt{k^2+1}\sin(\alpha-t).$$ $\alpha\le t\le\pi/2$ では $f'(\alpha)=0$、$\alpha<t\le\pi/2$ では $f'(t)<0$。任意の $\alpha\le u<v\le\pi/2$ に平均値の定理を適用すると、$u<c<v$ を満たす $c$ について $$f(v)-f(u)=f'(c)(v-u)<0$$ となる。したがって $f$ はこの区間で減少する。

(4) $\alpha<\beta<\pi/2$ で $x_1=f(\beta)$。曲線部分は $x=x_1$ から $y$ 軸まで進むとき $x$ が減るので、囲まれた面積は $$\displaystyle S=\int_0^{x_1}y\,dx =-\int_\beta^{\pi/2}g(t)f'(t)\,dt =\int_\beta^{\pi/2}e^{2kt}(\sin^2t-k\sin t\cos t)\,dt.$$ 被積分関数の原始関数は $$\displaystyle F(t)=\frac{e^{2kt}}4\left(\frac1k-\sin2t\right),$$ これは微分すると $e^{2kt}(\sin^2t-k\sin t\cos t)$ となる。よって $$\displaystyle S=F(\pi/2)-F(\beta) =\frac{e^{k\pi}-e^{2k\beta}}{4k} +\frac{e^{2k\beta}\sin2\beta}{4}.$$

表示用の訂正版では、媒介変数微分を各点の座標へ代入した問1の接線傾きだけを修正した。他の3問の結論・計算は独立検算で原採用答案と一致する。数学的訂正なので別Vによる照合が必要。