3旭川医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol v=\overrightarrow{AC}$ とおく。余弦定理と内積の公式から $$|\boldsymbol u|^2=16,\quad |\boldsymbol v|^2=28,\quad \boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=4.$$ (1) 点 $M$ が辺 $BC$ 上にあるので $\overrightarrow{AM}=(1-s)\boldsymbol u+s\boldsymbol v$ とおく。$AM\perp BC$ だから $$((1-s)\boldsymbol u+s\boldsymbol v)\cdot(\boldsymbol v-\boldsymbol u)=-12+36s=0.$$ よって $\boxed{\overrightarrow{AM}=(2\boldsymbol u+\boldsymbol v)/3}$。

(2) $\overrightarrow{AL}=\boldsymbol v/7$。点 $P$ が直線 $BL$ 上にあるので $\overrightarrow{AP}=(1-t)\boldsymbol u+(t/7)\boldsymbol v$ と書ける。さらに 点 $P$ が直線 $AM$ 上にあるので係数比は $2:1$、すなわち $1-t=2t/7$。よって $$\boxed{\overrightarrow{AP}=(2\boldsymbol u+\boldsymbol v)/9}.$$

(3) $\overrightarrow{CP}=(2\boldsymbol u-8\boldsymbol v)/9$ で、成分展開すると $$|CP|^2=64/3,\qquad \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CP}=24.$$ $PD$ は底面に垂直なので $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=24$。一方、$\angle BCD=60^\circ$、$BC=6$ より $3CD=24$、したがって $CD=8$。 直角三角形 $CPD$ から $$\boxed{PD=\sqrt{64-64/3}=8\sqrt6/3}.$$

(4) $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}+k\overrightarrow{PD}$ とおく。$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PD}$ と底面への垂直性を用いると、$AQ\perp CD$ は $$0=\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{CD}=-8/3+(128/3)k.$$ よって $k=1/16$、$PQ=\sqrt6/6$。底面積は $\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot4\cdot6\sin60^\circ=6\sqrt3$ なので $$\displaystyle \boxed{V_{QABC}=\frac13\cdot6\sqrt3\cdot\frac{\sqrt6}{6}=\sqrt2}.$$