3琉球大学 2023年 数学 第3問解答・解説

時刻 $t$ における座標は $P=(t,0,0)$、$Q=(0,t/2,0)$。$R=(0,0,r)$ と書くと $$\displaystyle r=\begin{cases}2t,&0\le t\le\frac12,\\2(1-t),&\frac12\le t\le1.\end{cases}$$

$t=0$ では3点が一致するので $S(0)=0$。$t>0$ では $\displaystyle PQ=\frac{\sqrt5}{2}t$。原点から直線 $PQ$ までの距離を $d$ とすると、直角三角形 $OPQ$ の面積より $$\displaystyle \frac12PQ\,d=\frac{t^2}{4},\qquad d=\frac{t}{\sqrt5}.$$ $R$ と直線 $PQ$ の距離は $\sqrt{r^2+d^2}$ なので $$\displaystyle S(t)=\frac12PQ\sqrt{r^2+d^2}=\frac{t}{4}\sqrt{t^2+5r^2}.$$ 従って $$\displaystyle S(t)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{21}}4t^2,&0\le t\le\dfrac12,\\[2pt] \dfrac{t}{4}\sqrt{t^2+20(1-t)^2},&\dfrac12\le t\le1. \end{cases}$$ $t=1/2$ では両式とも $\sqrt{21}/16$ となる。

$0\le t\le1/2$ で $S(t)$ は増加する。後半の区間では $S(t)$ は非負なので、$16S(t)^2$ を最大化する。展開して $$f(t)=16S(t)^2=21t^4-40t^3+20t^2,\qquad f'(t)=4t(21t^2-30t+10).$$ 二次因子の根は $\alpha=(15-\sqrt{15})/21$、$\beta=(15+\sqrt{15})/21$。比較により $1/2<\alpha<\beta<1$。従って $f$ は $1/2\le t\le\alpha$ で増加、$\alpha\le t\le\beta$ で減少、$\beta\le t\le1$ で増加する。最大候補は $\alpha$ と $1$ であり、$f(\alpha)>f(1/2)=21/16>f(1)=1$。第1区間の最大は $t=1/2$ なので、全区間で $S(t)$ が最大となるのは $$\displaystyle t=\frac{15-\sqrt{15}}{21}.$$

座標と折り返しに基づくRの高さを求め、底辺PQとその直線への高さで三角形の面積を算出する。区分式の境界値を確かめ、最大値は面積の二乗に比例する四次式を微分し、臨界点と端点を比較して決める。