琉球大学 2023年数学第4問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

琉球大学2023年度第4問

1個のさいころを6の目が2回出るまで投げ続ける。 $k=1,2,3,\ldots$ に対して $p_k$ を $k+1$ 回目に2回目の6の目が出る確率とするとき、次の問いに答えよ。（50点）

問1 $p_k$ を求めよ。

問2 $p_k$ を最大にする $k$ の値を求めよ。

問3 $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}p_k$ を求めよ。

（解答は次のページの解答欄に記入すること。）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad p_k=\frac{k}{36}(5/6)^{k-1}\quad$ . (2) maximum at $\quad k=5,6\quad$ , value $\quad 3125/46656\quad$ . (3) $\displaystyle \quad S_n=1-\frac{n+6}{6}(5/6)^n\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

第 $k+1$ 回目が2度目の6になるには、最初のk回に6がちょうど1回、その後に6が出る必要がある。6の位置はk通りなので $\displaystyle p_k=k\cdot\frac16\left(\frac56\right)^{k-1}\cdot\frac16=\frac{k}{36}\left(\frac56\right)^{k-1}.$ 次項との比は $p_{k+1}/p_k=5(k+1)/(6k)$ 。k<5では1より大きく、k=5で等しく、k>5では1より小さい。よって最大はk=5,6の両方で、値は $3125/46656$ 。

$S_n$ は第n+1回までに6が2回以上出る確率である。余事象は0回または1回であり、従って $\displaystyle S_n=1-\left(\frac56\right)^{n+1}-(n+1)\frac16\left(\frac56\right)^n=1-\frac{n+6}{6}\left(\frac56\right)^n.$

この問題で使う考え方

位置の選択
隣接項比
余事象

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