3岡山大学 2023年 数学 第3問解答・解説

9枚の札は、同じ数字の札どうしもそれぞれ別の札として数える。各人の手札と箱に残る札への配り方は等確率である。

{}(1) Aの2枚の選び方は $\displaystyle \binom{9}{2}=36$ 通りである。2枚が同じ数字となる選び方は、数字を3通りから選び、その数字の札3枚から2枚を選ぶので $\displaystyle 3\binom{3}{2}=9$ 通りである。したがって、求める確率は $$\displaystyle \frac{3\binom{3}{2}}{\binom{9}{2}}=\frac{9}{36}=\frac14.$$

{}(2) 全配り方は $$\displaystyle \binom{9}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{3}=7560$$ 通りである。条件を満たすには、Cが1,2,3を1枚ずつ持つ。Cの札の選び方は各数字について3通りずつあるので $3^3=27$ 通り。Cの札を固定すると、残りは各数字2枚ずつである。Aが異なる数字の札を持つ選び方は、数字を3種類から2種類選び、各数字について残る2枚から1枚選ぶので $\displaystyle \binom{3}{2}\cdot2^2=12$ 通り。

このAの選び方を固定すると、Aが持つ2種類の数字は各1枚ずつ残り、選ばなかった数字は2枚残る。Bが異なる数字を持つ選び方は、Aの2種類の数字を1枚ずつ選ぶ1通り、またはAの数字から1種類と残りの数字を選ぶ $2\cdot2=4$ 通り、計5通りである。よって条件を満たす配り方は $27\cdot12\cdot5=1620$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{1620}{7560}=\frac{3}{14}.$$

{}(3) Aの手札を固定する。残り7枚からCの3枚を選ぶ各組は等確率であり、各Cの手札に対し残り4枚からBの2枚を選ぶ $\displaystyle \binom{4}{2}$ 通りが対応する。

Aの2枚が同じ数字である確率は $1/4$ である。このとき、その数字の札は残り1枚、他の2種類は各3枚残る。CがAと共通の数字を持たないには、他の6枚から3枚を選ぶため、条件付き確率は $\displaystyle \binom{6}{3}/\binom{7}{3}=4/7$ である。

Aの2枚が異なる数字である確率は $3/4$ である。このときAが持たない数字の札が3枚あり、Cが共通の数字を持たないにはその3枚をすべて選ぶ必要があるため、条件付き確率は $\displaystyle 1/\binom{7}{3}=1/35$ である。したがって、AとCに共通の数字がない確率は $$\displaystyle \frac14\cdot\frac47+\frac34\cdot\frac1{35}=\frac{23}{140}.$$ 求める事象はその余事象なので、確率は $1-23/140=117/140$ である。

物理的な札の配り方を等確率標本空間として扱う。小問(2)ではCの手札、Aの異なる数字、Bの異なる数字の順で数え、小問(3)ではAの同数字・異数字を場合分けして非共通事象を計算する。