1岡山大学 2023年 数学 第1問解答・解説

数列の第1項について、$S_1=a_1$より$$\displaystyle a_1=\frac76(a_1-1)\quad\text{より}\quad a_1=7.$$ $n\ge2$では$S_n-S_{n-1}=a_n$であるから、$$\displaystyle a_n=\frac76(a_n-a_{n-1})\quad\text{より}\quad a_n=7a_{n-1}.$$ よって$$a_n=7^{n-1}a_1=7^n.$$　 (2) 89桁である条件は$10^{88}\le7^n<10^{89}$である。常用対数をとり、問題で与えられた$\log_{10}7=0.8451$を用いると、$$88\le0.8451n<89.$$ ここで$104\cdot0.8451=87.8904<88$、$105\cdot0.8451=88.7355$は88以上89未満、$106\cdot0.8451=89.5806>89$である。したがって$n=105$。　 (3) 7の累乗の1の位は、$7,9,3,1$の順に4個ごとに繰り返す。$105=4\cdot26+1$より、$7^{105}$の1の位は7。　 (4)$$\log_{10}(7^{105})=105\cdot0.8451=88.7355.$$ また、$$\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990,\qquad\log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.7781.$$ よって$$88+0.6990<88.7355<88+0.7781,$$ すなわち$5\cdot10^{88}<7^{105}<6\cdot10^{88}$である。したがって最高位の数字は5。