2高知大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(x)=3x^3+ax^2+bx+c$ とおくと，導関数は $f'(x)=9x^2+2ax+b$ である。

条件 $f(1)=0$ より $$3+a+b+c=0 \quad\cdots\text{①}$$ 条件 $f(2)=3$ より $$24+4a+2b+c=3,\quad\text{すなわち}\quad 4a+2b+c=-21 \quad\cdots\text{②}$$ 条件 $f'(1)=0$ より $$9+2a+b=0,\quad\text{すなわち}\quad 2a+b=-9 \quad\cdots\text{③}$$

②$-$① より $3a+b=-18$ …④。④$-$③ より $a=-9$。これを③に代入して $b=9$。さらに①に代入して $c=-3$。

よって $$a=-9,\ b=9,\ c=-3,\qquad f(x)=3x^3-9x^2+9x-3=3(x-1)^3.$$

（検算）$f(1)=3\cdot0=0$，$f(2)=3\cdot1^3=3$，$f'(x)=9(x-1)^2$ より $f'(1)=0$。すべての条件を満たす。

(2) (1)の結果より $f(x)=3(x-1)^3$，$f'(x)=9(x-1)^2$ である。

点 $(t,f(t))$ における接線は $$y=f'(t)(x-t)+f(t)=9(t-1)^2(x-t)+3(t-1)^3$$ である。これは整理すると $$y=9(t-1)^2x-3(t-1)^2(2t+1)=3(t-1)^2\{3x-(2t+1)\}$$ とも書ける。

$t>1$ のとき $(t-1)^2\neq0$ であるから，$y=0$ とおいて両辺を $3(t-1)^2$（$\neq0$）で割ると $$\displaystyle 3x-(2t+1)=0,\qquad \therefore\ x=\dfrac{2t+1}{3}.$$

（検算）$t=2$ のとき接線は $y=9(x-2)+3=9x-15$ で，$x$軸との交点は $x=15/9=5/3$。公式 $(2\cdot2+1)/3=5/3$ と一致する。

(3) 点 $(x_n,f(x_n))$ における接線と $x$ 軸との交点が $x_{n+1}$ として定まるためには，$f'(x_n)\neq0$，すなわち $x_n\neq1$ が必要である。

$x_1=2>1$ である。$x_n>1$ と仮定すると，(2)の結果を $t=x_n$（$>1$）として用いて $$\displaystyle x_{n+1}=\dfrac{2x_n+1}{3}$$ が定まる。このとき $$\displaystyle x_{n+1}-1=\dfrac{2x_n+1}{3}-1=\dfrac{2x_n-2}{3}=\dfrac23(x_n-1)>0$$ であるから $x_{n+1}>1$ も成り立つ。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $x_n>1$ であり，上の漸化式が常に成り立つ。

漸化式 $\displaystyle x_{n+1}=\dfrac23x_n+\dfrac13$ は $$\displaystyle x_{n+1}-1=\dfrac23(x_n-1)$$ と変形できるから，数列 $\{x_n-1\}$ は公比 $\displaystyle \dfrac23$ の等比数列である。初項は $x_1-1=1$ であるから $$\displaystyle x_n-1=\left(\dfrac23\right)^{n-1},\qquad \therefore\ x_n=1+\left(\dfrac23\right)^{n-1}.$$

（検算）$n=1$: $x_1=1+1=2$ ✓。$n=2$: 公式で $x_2=1+2/3=5/3$，漸化式で $(2\cdot2+1)/3=5/3$ ✓。$n=3$: 公式で $1+4/9=13/9$，漸化式で $(2\cdot(5/3)+1)/3=(13/3)/3=13/9$ ✓。

(4) $$\displaystyle x_{n+1}-x_n=\left(\dfrac23\right)^{n}-\left(\dfrac23\right)^{n-1}=\left(\dfrac23\right)^{n-1}\left(\dfrac23-1\right)=-\dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}$$ であるから $$\displaystyle |x_{n+1}-x_n|=\dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}.$$ これが $\displaystyle \dfrac12\times10^{-4}$ より小さくなる最小の $n$ を求める。不等式 $$\displaystyle \dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}<\dfrac12\times10^{-4}$$ の両辺を $3$ 倍して $$\displaystyle \left(\dfrac23\right)^{n-1}<\dfrac32\times10^{-4}.$$ 両辺とも正であるから，常用対数をとっても不等号の向きは変わらず， $$\displaystyle (n-1)\log_{10}\dfrac23<\log_{10}\dfrac32-4$$ となる。ここで $$\displaystyle \log_{10}\dfrac23=\log_{10}2-\log_{10}3=0.301-0.477=-0.176,\qquad \log_{10}\dfrac32=\log_{10}3-\log_{10}2=0.477-0.301=0.176$$ であるから $$-0.176(n-1)<0.176-4=-3.824.$$ 両辺を負の数 $-0.176$ で割ると不等号の向きが変わり $$\displaystyle n-1>\dfrac{3.824}{0.176}=\dfrac{3824}{176}=\dfrac{239}{11}=21.7272\ldots$$ $n-1$ は整数であるから，これを満たす最小の $n-1$ は $22$，よって求める最小の $n$ は $$n=23.$$

（検算）$n-1=22$ のとき $22\times(-0.176)=-3.872<-3.824$ となり不等式を満たす。一方 $n-1=21$ のとき $21\times(-0.176)=-3.696>-3.824$ となり不等式を満たさない。よって最小の $n$ は $23$ である。