1高知大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 方程式 $x^2-4x+y^2-6y+a=0$ を平方完成すると $$(x-2)^2+(y-3)^2=13-a$$ となる。これは中心 $(2,3)$，半径 $\sqrt{13-a}$（$13-a>0$ のとき）の円を表す方程式である。

これを満たす実数の組 $(x,y)$ が存在するのは，右辺が非負であり，かつそのときに限り，円周上の点として実現できるからである。すなわち $$13-a\ge 0 \quad\text{すなわち}\quad a\le 13$$ のとき実数解 $(x,y)$ が存在し（$a=13$ のときは唯一の点 $(2,3)$），$13-a<0$ のときは左辺が非負であるのに対し右辺が負となり，実数解は存在しない。

よって，実数の組 $(x,y)$ が存在しないような $a$ の値の範囲は $$\boxed{a>13}$$

(2) $|x|,\ |y|$ を含む式なので，$x,y$ の符号によって場合分けする。座標平面は $x$ 軸・$y$ 軸によって4つの部分（各象限，境界含む）に分けられる。

(i) $x\ge 0,\ y\ge 0$ のとき（第1象限） $|x|=x,\ |y|=y$ であるから，不等式は $$x^2-4x+y^2-6y-23\le 0$$ と書ける。平方完成すると $$(x-2)^2+(y-3)^2\le 36$$ となり，これは中心 $(2,3)$，半径 $6$ の円の内部および周（円板）を表す。したがって、対応する部分 $D_1$ は $$x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad (x-2)^2+(y-3)^2\le36$$ をすべて満たす点$(x,y)$全体である。

(ii)〜(iv) 他の象限 同様に， $$x\le0,\ y\ge0:\ |x|=-x,\ |y|=y \ \quad\text{より}\quad\ (x+2)^2+(y-3)^2\le36 \ (=D_2)$$ $$x\le0,\ y\le0:\ |x|=-x,\ |y|=-y \ \quad\text{より}\quad\ (x+2)^2+(y+3)^2\le36 \ (=D_3)$$ $$x\ge0,\ y\le0:\ |x|=x,\ |y|=-y \ \quad\text{より}\quad\ (x-2)^2+(y+3)^2\le36 \ (=D_4)$$ がそれぞれ対応する範囲である。$D$ は $D_1,D_2,D_3,D_4$ を合わせた領域であり，もとの式が $|x|,|y|$ のみで決まることから，$D$ は $x$ 軸・$y$ 軸（したがって原点）に関して対称である。

境界の形状（第1象限での詳細） 円 $C_1:(x-2)^2+(y-3)^2=36$ を $x=2+6\cos\theta,\ y=3+6\sin\theta$ とパラメータ表示すると， $$\displaystyle x\ge0 \quad\text{すなわち}\quad \cos\theta\ge -\tfrac13,\qquad y\ge0\quad\text{すなわち}\quad \sin\theta\ge-\tfrac12$$ であり，この2条件を同時に満たす $\theta$ の範囲は $$\displaystyle -30^\circ\le\theta\le\arccos\!\left(-\tfrac13\right)\ (\approx109.47^\circ)$$ である。両端の値は $$\displaystyle \theta=-30^\circ:\ (x,y)=(2+3\sqrt3,\,0),\qquad \theta=\arccos(-\tfrac13):\ (x,y)=(0,\,3+4\sqrt2)$$ であり（前者は $y=0$ における $C_1$ との交点，後者は $x=0$ における交点），この範囲の $\theta$ に対応する弧が第1象限内での $D$ の境界である。この弧は $\theta=0^\circ$ で最も右（$(8,3)$）に，$\theta=90^\circ$ で最も上（$(2,9)$）に達する。

対称性より，第2象限の境界は円 $(x+2)^2+(y-3)^2=36$ の対応する弧（点 $(0,3+4\sqrt2)$ から $(-2,9),(-8,3)$ を通り $(-2-3\sqrt3,0)$ まで），第3・第4象限も同様に円 $(x+2)^2+(y+3)^2=36,\ (x-2)^2+(y+3)^2=36$ の対応する弧となる。

図示 以上より，領域 $D$ は次のような閉じた図形である：

・ $x$ 軸上の点 $(2+3\sqrt3,0)\ (\approx(7.20,0))$ と $(-2-3\sqrt3,0)$，および $y$ 軸上の点 $(0,3+4\sqrt2)\ (\approx(0,8.66))$ と $(0,-3-4\sqrt2)$ の4点で，隣り合う2つの円弧が滑らかにつながらない「角」を作る（$D$ の境界はこの4点でわずかに内側にへこむ）。

・ その間を，半径 $6$ の円弧が外側にふくらんで結び，各弧は $(\pm8,\pm3)$（$x$ 座標の絶対値が最大の点）および $(\pm2,\pm9)$（$y$ 座標の絶対値が最大の点）を通る。

・ 全体として原点・$x$ 軸・$y$ 軸に関して対称な，角の丸い十字（花びら状）の図形になる。境界を含む（$\le$ なので）。

（原本の解答用紙には，この境界曲線と内部を塗った図を描けばよい。上記の4つの円の方程式と象限の制限，交点座標・通過点座標が図の根拠である。）

(3) 点 $(5-3\sqrt5,\ 4\sqrt5)$ の符号を調べる。$\sqrt5=2.236\ldots$ より $3\sqrt5=6.708\ldots>5$ であるから $$x=5-3\sqrt5<0,\qquad y=4\sqrt5>0$$ である。よってこの点は第2象限（$x\le0,\ y\ge0$）に属するので，(2)の場合分け (ii) の式，すなわち $$(x+2)^2+(y-3)^2\le 36$$ を用いて判定すればよい。

$x+2=7-3\sqrt5$ より $$(x+2)^2=(7-3\sqrt5)^2=49-42\sqrt5+45=94-42\sqrt5$$ $y-3=4\sqrt5-3$ より $$(y-3)^2=(4\sqrt5-3)^2=80-24\sqrt5+9=89-24\sqrt5$$ であるから $$(x+2)^2+(y-3)^2=(94-42\sqrt5)+(89-24\sqrt5)=183-66\sqrt5$$

これと $36$ の大小を比較する。$183-66\sqrt5\le36 \quad\text{すなわち}\quad 147\le66\sqrt5$ であり，両辺とも正なので2乗して比較できる： $$147^2=21609,\qquad (66\sqrt5)^2=66^2\times5=4356\times5=21780$$ $21609<21780$ より $147<66\sqrt5$ が成り立つ。したがって $$183-66\sqrt5<36$$ すなわち $(x+2)^2+(y-3)^2<36$ が成り立つ。

さらに $x<0,\ y>0$ であることは既に確認した。以上より，点 $(5-3\sqrt5,4\sqrt5)$ は $x\le0,\ y\ge0$ の範囲で $(x+2)^2+(y-3)^2\le36$（実際には等号を含まない不等号で）を満たすので，(2)の領域 $D$ に属する（境界ではなく内部の点である）。

領域 $D$ の図示

各象限の条件付き円板から得られる領域 $D$。赤点は座標軸上の境界点，青点は各円弧の極値を表す。