6東邦大学 2024年 数学 第6問解答・解説

まず、$\mathrm{D}_1$ を平方完成する。 $$\begin{aligned} x^2-2kx+y^2-4(k-3)y+5k^2-24k+34 &=(x-k)^2+(y-2k+6)^2-2. \end{aligned}$$ したがって $\mathrm{D}_1$ は、中心 $C=(k,2k-6)$、半径 $\sqrt2$ の円の内部および周上である。中心の座標を $(x_C,y_C)$ と書けば $x_C=k$、$y_C=2k-6=2x_C-6$ だから、中心は直線 $y=-6+2x$ 上にある。よって $(キク)=-6$、$(ケ)=2$。

$\mathrm{D}_2$ は $y^2\leq x^2$、すなわち $-x\leq y\leq x$（$x\geq0$ のとき）または $x\leq y\leq -x$（$x\leq0$ のとき）である。円盤 $\mathrm{D}_1$ が $\mathrm{D}_2$ に含まれるなら、特に中心 $C$ が $\mathrm{D}_2$ に含まれる必要がある。よって $$k^2-(2k-6)^2\geq0 \quad\text{すなわち}\quad (k-2)(k-6)\leq0 \quad\text{すなわち}\quad 2\leq k\leq6.$$ この範囲では中心の $x$ 座標が正であり、中心は右側のくさび $-x\leq y\leq x$ にある。従って、円盤全体がこのくさび内にあるための必要十分条件は、中心から境界直線 $y=x$、$y=-x$ までの距離がいずれも半径 $\sqrt2$ 以上であること。

中心 $(k,2k-6)$ からこれらの直線までの距離は、それぞれ $$\displaystyle \frac{|(2k-6)-k|}{\sqrt2}=\frac{6-k}{\sqrt2}, \qquad \frac{|(2k-6)+k|}{\sqrt2}=\frac{3k-6}{\sqrt2}$$ である（ここでは $2\leq k\leq6$ を用いた）。両方が $\sqrt2$ 以上となる条件は $$6-k\geq2,\qquad 3k-6\geq2,$$ すなわち $k\leq4$、$\displaystyle k\geq\frac83$ である。この条件は必要でも十分でもあり、等号の場合も境界上の円周が $\mathrm{D}_2$ に含まれる。したがって求める範囲は $$\displaystyle \frac83\leq k\leq4.$$ よって $(コ)=8$、$(サ)=3$、$(シ)=4$。