10東邦大学 2024年 数学 第10問解答・解説

$\displaystyle t=x+1$ と置くと、条件 $x>-1$ は $t>0$ となる。

まず $a,b$ の必要性を調べる。第1不等式の差を $$F_a(t)=t^{-4/5}-\{a(t-1)+1\}$$ とおくと、すべての $t>0$ で $F_a(t)\geq 0$ であり、$F_a(1)=0$ である。$t=1$ は定義域の内点なので、そこで微分係数は $0$ でなければならない。したがって $$\displaystyle 0=F_a'(1)=-\frac45-a$$ より $\displaystyle a=-\frac45$ である。

同様に、第2不等式の差を $$G_b(t)=bt+1-b-t^{1/5}$$ とおくと、$G_b(t)\geq0$ かつ $G_b(1)=0$ であるから $$\displaystyle 0=G_b'(1)=b-\frac15$$ より $\displaystyle b=\frac15$ である。

これらの値で実際に不等式が成り立つことを確かめる。第1不等式の差は $$\displaystyle F(t)=t^{-4/5}-\left(1-\frac45(t-1)\right) =t^{-4/5}-\frac95+\frac45t$$ であり、$F(1)=0$、 $$\displaystyle F'(t)=\frac45\left(1-t^{-9/5}\right)$$ である。$0<t<1$ では $F'(t)<0$、$t>1$ では $F'(t)>0$ だから、$F$ は $t=1$ で最小値 $0$ をとる。よって第1不等式はすべての $t>0$ で成り立つ。

第2不等式の差は $$\displaystyle G(t)=\frac15t+\frac45-t^{1/5}$$ であり、$G(1)=0$、 $$\displaystyle G'(t)=\frac15\left(1-t^{-4/5}\right)$$ である。$0<t<1$ では $G'(t)<0$、$t>1$ では $G'(t)>0$ だから、$G$ も $t=1$ で最小値 $0$ をとる。これで $\displaystyle a=-\frac45,\ b=\frac15$ が必要十分であることが確かめられた。

次に $n$ を求める。両辺は正だから、5乗しても不等号の向きは変わらない。したがって $$\displaystyle \left(1+\frac14\right)^{1/5}\leq 1+\frac n{1000}$$ は $$\displaystyle \frac54\leq\left(1+\frac n{1000}\right)^5 \quad\text{すなわち}\quad 4(1000+n)^5\geq5\cdot1000^5$$ と同値である。$n=45$ のとき $$4\cdot1045^5=4{,}984{,}727{,}750{,}612{,}500<5{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000$$ なので不等式を満たさない。一方、$n=46$ のとき $$4\cdot1046^5=5{,}008{,}623{,}812{,}971{,}904>5{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000$$ なので不等式を満たす。右辺 $1+n/1000$ は $n$ とともに増加するから、最小の自然数は $n=46$ である。したがって $\text{ケコ}=-4,\ \text{サ}=5,\ \text{シ}=1,\ \text{ス}=5,\ \text{セソ}=46$。