7東邦大学 2024年 数学 第7問解答・解説

$A=(0,0)$、$C=(\sqrt2,0)$ となるように座標をとる。三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle \cos\angle\mathrm{BAC} =\frac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}{2\,\mathrm{AB}\,\mathrm{AC}} =\frac{2+2-1}{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2} =\frac34.$$ 従って $(ス)=3$、$(セ)=4$。

$B=(u,v)$ とおくと、$AB=\sqrt2$ より $u^2+v^2=2$、$BC=1$ より $(u-\sqrt2)^2+v^2=1$。差をとると $2\sqrt2u=3$、よって $u=3\sqrt2/4$。これを $u^2+v^2=2$ に代入すると $v^2=7/8$、すなわち $v=\pm\sqrt{14}/4$ である。同様に $AD=\sqrt2$、$CD=1$ から $D$ の座標も $(3\sqrt2/4,\pm\sqrt{14}/4)$ のいずれかとなる。四角形の頂点 $B,D$ は異なるので、これらは二つの異なる交点であり、座標軸の向きを選べば $$\displaystyle B=\left(\frac{3\sqrt2}{4},\frac{\sqrt{14}}4\right),\qquad D=\left(\frac{3\sqrt2}{4},-\frac{\sqrt{14}}4\right)$$ としてよい。

$E$ は $BC$ の中点、$F$ は $DA$ の中点なので $$\displaystyle E=\left(\frac{7\sqrt2}{8},\frac{\sqrt{14}}8\right),\qquad F=\left(\frac{3\sqrt2}{8},-\frac{\sqrt{14}}8\right).$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} EF^2 &=\left(\frac{4\sqrt2}{8}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{14}}8\right)^2\\ &=\frac12+\frac78=\frac{11}{8}=\frac{22}{16}, \end{aligned} \qquad EF=\frac{\sqrt{22}}4.$$ $22$ は平方因子をもたないので、根号内は最小の自然数である。従って $(ソタ)=22$、$(チ)=4$。