9東邦大学 2024年 数学 第9問解答・解説

正三角形 $ABC$ の一辺は2であるから、$\angle BAC=60^\circ$ であり、余弦定理または内積から $$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|^2 =2^2+2^2+2\cdot2\cdot2\cos60^\circ=12.$$ 従って、条件式の右辺は $\sqrt{12}/2=\sqrt3$ である。また重心 $G$ は中線上にあり、正三角形の中線は角の二等分線でもある。中線の長さは $\sqrt3$ なので $$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AG}}|=\frac23\sqrt3=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad \angle\mathrm{BAG}=30^\circ.$$

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=a\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ の場合、$a>0$ より $$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AG}}\right|=(a+1)|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|, \qquad \left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AG}}\right|=|a-1||\overrightarrow{\mathrm{AG}}|.$$ 差が $\sqrt3$ となる条件は $$\displaystyle \frac{2\sqrt3}{3}\bigl(a+1-|a-1|\bigr)=\sqrt3.$$ $a\geq1$ なら左辺は $4\sqrt3/3$ で、等しくならない。$0<a<1$ なら左辺は $4a\sqrt3/3$ だから $a=3/4$。この値は範囲条件を満たす。よって $\text{(オ)}=3$、$\text{(カ)}=4$。

次に $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、$b>0$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ のなす角は30度だから、内積は $$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AG}} =b\cdot2\cdot\frac{2\sqrt3}{3}\cos30^\circ=2b.$$ ここで $A_0=4b^2+4/3$ とおくと $$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\pm\overrightarrow{\mathrm{AG}}\right|=\sqrt{A_0\pm4b}.$$ いずれの平方根も正であり、特に $A_0-4b=4((b-1/2)^2+1/12)>0$。求める条件は $$U-V=\sqrt3,\qquad U=\sqrt{A_0+4b},\quad V=\sqrt{A_0-4b}$$ である。さらに $(U-V)(U+V)=U^2-V^2=8b$ より $U+V=8b/\sqrt3$。従って $$\displaystyle A_0=\frac{U^2+V^2}{2} =\frac{(U+V)^2+(U-V)^2}{4} =\frac{16b^2}{3}+\frac34.$$ $A_0=4b^2+4/3$ と等置すると $16b^2=7$。$b>0$ より $b=\sqrt7/4$。実際このとき $$\displaystyle U=\sqrt{\frac73}+\frac{\sqrt3}{2},\qquad V=\sqrt{\frac73}-\frac{\sqrt3}{2}>0$$ となり、$U-V=\sqrt3$ を満たす。したがって $\text{(キ)}=7$、$\text{(ク)}=4$。