2岡山大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) Dのx軸との交点が$\pm p$なので、$ap^2+b=0$、すなわち$b=-ap^2$である。$b=-ap^2$より$D=a(x^2-p^2)$であり、$a<0$から$|x|\le p$で$D\ge0$となる。したがって、$$\displaystyle S=\int_{-p}^{p}(ax^2+b)\,dx=\left[\frac{a}{3}x^3+bx\right]_{-p}^{p}=\frac{2ap^3}{3}+2bp=-\frac{4}{3}ap^3.$$　 (2) $C$と$D$が$x=t$で接するので、値と導関数がそれぞれ等しい。$\displaystyle C'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$、$D'(x)=2ax$であり、$t>0$だから$\displaystyle 2at=-\frac{2t}{(t^2+1)^2}$から$\displaystyle a=-\frac{1}{(t^2+1)^2}$。また$\displaystyle at^2+b=\frac{1}{t^2+1}$より、$$\displaystyle b=\frac{1}{t^2+1}-at^2=\frac{2t^2+1}{(t^2+1)^2}.$$　 (3) (1)で$p^2=-b/a=2t^2+1$なので、$p=\sqrt{2t^2+1}$。これと(2)を(1)に代入すると、$$\displaystyle S=-\frac43ap^3=\frac{4(2t^2+1)^{3/2}}{3(t^2+1)^2}.$$　 (4) (3)を微分すると、$$\displaystyle S'(t)=\frac{8t(1-t^2)\sqrt{2t^2+1}}{3(t^2+1)^3}.$$分母と$t$、$\sqrt{2t^2+1}$は$t>0$で正だから、$0<t<1$では$S'(t)>0$、$t>1$では$S'(t)<0$。したがって$S$は$t=1$で最大となる。このとき(2)より$\displaystyle a=-\frac14$、$\displaystyle b=\frac34$だから、求める方程式は$$\displaystyle D:\ y=-\frac14x^2+\frac34.$$