I順天堂大学 2023年 数学 第I問解答・解説

(1)(a) $\displaystyle z=\frac38+yi$ より $$\displaystyle w=z^2=\left(\frac{9}{64}-y^2\right)+\frac{3y}{4}i.$$ $w=u+vi$ と比較すると $\displaystyle v=\frac34y$，すなわち $\displaystyle y=\frac43v$ なので $$\displaystyle u=\frac{9}{64}-\frac{16}{9}v^2.$$ $v=0$ とすれば実軸との交点は $\displaystyle \frac9{64}$。また $u=0$ とすると $$\displaystyle v^2=\frac{9}{64}\cdot\frac9{16}=\frac{81}{1024},$$ よって虚軸との交点は $\displaystyle \pm\frac9{32}i$。

(1)(b) $z=x+2i$ から $$\displaystyle w=\frac{x-2i}{x^2+4},\quad u=\frac{x}{x^2+4},\quad v=-\frac2{x^2+4}.$$ 従って $\displaystyle u^2+v^2=\frac1{x^2+4}$ であり，$v=-2(u^2+v^2)$ だから $$\displaystyle u^2+v^2+\frac v2=0 \quad\text{すなわち}\quad u^2+\left(v+\frac14\right)^2=\frac1{16}.$$ 中心は $\displaystyle -\frac14i$，半径は $\displaystyle \frac14$。$w=0$ は $x\to\pm\infty$ の極限で近づくだけで，有限の $x$ では得られない。従って除外点は原点 $0$ である。

(2) ベクトル条件から $$\displaystyle (x_2+1,y_2+1)=\frac12(x_1+1,y_1+1),$$ ゆえに $x_1=2x_2+1,\ y_1=2y_2+1$。$x_2=t$ とすると $$\displaystyle y_2=\frac{(2t+1)^3-3(2t+1)-1}{2} =4t^3+6t^2-\frac32,$$ 従って $\displaystyle \ell_2:y=4x^3+6x^2-\frac32$。

$\ell_1$ 上の点 $P$ を相似比 $\lambda:1$ で中心 $B=(h,k)$ の周りに移して $\ell_3$ 上の点 $Q$ にするなら，$Q=B+\lambda(P-B)$ である。三次の係数は $1/\lambda^2$ となるので $\ell_3$ の係数 $1/4$ から $\lambda=2$。このとき $x_P=(x_Q+h)/2$ であり， $$\displaystyle y_Q=2\left[\left(\frac{x_Q+h}{2}\right)^3-3\left(\frac{x_Q+h}{2}\right)\right]-k =\frac{(x_Q+h)^3}{4}-3(x_Q+h)-k.$$ $x_Q^2$ の係数を $\displaystyle \frac34$ と比べて $h=1$，定数項を比べて $k=0$。また $x_Q$ の係数は $\displaystyle \frac{3h^2}{4}-3=-\frac94$。従って $\ell_3$ の空欄は $\displaystyle \frac94$，相似比は $2:1$，中心は $B=(1,0)$。

(3)(a) 等比数列の和は $$\displaystyle S_n=\frac{1-(-4/5)^n}{1+4/5}=\frac59\left(1-(-4/5)^n\right).$$ $\displaystyle S_n<\frac12$ は $\displaystyle (-4/5)^n>\frac1{10}$ と同値。奇数 $n$ では左辺が負なので不可能である。偶数 $n$ では $$n\log_{10}(4/5)>-1,\quad \log_{10}(4/5)=3\log_{10}2-1=-0.0970,$$ 従って $n<1/0.0970<11$。偶数に限れば最大は $n=10$（実際 $(4/5)^{10}>1/10$，一方 $n=12$ では不成立）。

(3)(b) $\displaystyle r=\frac{\sqrt3}{2}$ とおく。$n\equiv1\pmod3$ なら $a_n=r^n$，$n\equiv2\pmod3$ なら $a_n=(-r)^n$，$n\equiv0\pmod3$ なら $a_n=0$。従って $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{6}a_n =r+\frac34+\frac9{16}-\frac{9\sqrt3}{32} =\frac{7\sqrt3+42}{32}.$$ また $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n =\sum\limits _{m=0}^{\infty}r^{3m+1}+\sum\limits _{m=0}^{\infty}r^2(-r^3)^m =\frac{r}{1-r^3}+\frac{r^2}{1+r^3}.$$ $r=\sqrt3/2$ を代入してそれぞれ通分すると $$\displaystyle \frac{r}{1-r^3}=\frac{32\sqrt3+36}{37},\qquad \frac{r^2}{1+r^3}=\frac{48-18\sqrt3}{37},$$ よって無限和は $\displaystyle \frac{14\sqrt3+84}{37}$ である。ここで $|r^3|=3\sqrt3/8<1$ なので等比級数は収束する。