2北海道大学 2006年 数学 第2問解答・解説

(1) 各ベクトルを終点の座標から始点の座標を引いて求めると、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OA_0}&=\vec e_1,&\overrightarrow{A_0A_1}&=\vec e_2,&\overrightarrow{A_0A_2}&=\vec e_3,\\ \overrightarrow{OB_0}&=2\vec e_1,&\overrightarrow{B_0B_1}&=\vec e_2,&\overrightarrow{B_0B_2}&=\frac12\vec e_1+\frac{\sqrt3}{2}\vec e_3. \end{aligned}$$ (2) 位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=(1,a,b),\qquad\overrightarrow{OP'}=\left(2+\frac q2,p,\frac{\sqrt3q}{2}\right)$$ である。P′が直線OP上にあるから、ある実数 $\lambda$ に対し $\overrightarrow{OP'}=\lambda\overrightarrow{OP}$。第1成分から $\lambda=(q+4)/2$。もし $q=-4$ なら $\lambda=0$ となるが、このとき $\overrightarrow{OP'}=(0,p,-2\sqrt3)\ne\vec0$ で矛盾する。したがって $q\ne-4$ であり、残りの成分から $$\displaystyle a=\frac{2p}{q+4},\qquad b=\frac{\sqrt3q}{q+4}.$$ (3) 点 $P=(1,a,b)$ が中心 $A_0=(1,0,0)$、半径1の円周上にある条件は $a^2+b^2=1$。これに(2)を代入すると $$\displaystyle \frac{4p^2+3q^2}{(q+4)^2}=1 \quad\text{すなわち}\quad2p^2+(q-2)^2=12 \quad\text{すなわち}\quad\frac{p^2}{6}+\frac{(q-2)^2}{12}=1.$$ この式では $q=-4$ は起こらない（その場合 $2p^2+(q-2)^2\ge36$）。逆に、この楕円上の任意の $(p,q)$ に対して $a=2p/(q+4),\ b=\sqrt3q/(q+4)$ とおけば $a^2+b^2=1$ となり、対応する $P=(1,a,b)$ は円周上にある。さらに $\lambda=(q+4)/2$ とすれば $$\displaystyle \overrightarrow{OP'}=\left(\lambda,p,\frac{\sqrt3q}{2}\right)=\lambda(1,a,b)=\lambda\overrightarrow{OP},$$ よって各点 $P'$ は直線OP上かつ平面 $\beta$ 上にある。従って軌跡 $C'$ は $$\displaystyle \frac{p^2}{6}+\frac{(q-2)^2}{12}=1$$ で表される楕円である。中心は $(0,2)$、半軸の長さは $\sqrt6,2\sqrt3$ である。