5北海道大学 2006年 数学 第5問解答・解説

まず(2)の一般の場合を求める。さいころを $r$ 回投げても終了しない事象を $A_r$ とする。これは最初の出目が何であっても、以後の各出目が直前の出目と異なる事象である。最初の出目は6通り、その後は各回5通りだから、終了しない出目列は $6\cdot5^{r-1}$ 通りある。全出目列 $6^r$ 通りは同様に確からしいので $$\displaystyle P(A_r)=\frac{6\cdot5^{r-1}}{6^r}=\left(\frac56\right)^{r-1}.$$ したがって、$r$ 回以内に終了する確率は余事象を用いて $$\displaystyle 1-\left(\frac56\right)^{r-1}$$ となる。

(1)は、この式に $r=4$ を代入すると $$\displaystyle 1-\left(\frac56\right)^3=1-\frac{125}{216}=\boxed{\frac{91}{216}}.$$ よって答えは、(1) $\displaystyle \frac{91}{216}$、(2) $\displaystyle 1-\left(\frac56\right)^{r-1}$ である。