5東京大学 2005年 数学 第5問解答・解説

$1\le a\le N$ とする。甲が2回目を引いた場合も含め、$s=a+b$ とおく。まず $1\le s\le N$ のときの勝率を求める。 $c\le s$ なら乙は次の段階へ進み、$c>s$ なら乙が勝つので、$\displaystyle \text{乙が }c\text{ を引いて次へ進む確率は }\frac{s}{N}$ である。 $c\le s\text{ を固定する}$。甲が勝つのは $c+d\le s$ または $c+d>N$ の場合である。前者の d は $s-c\text{ 個}$、$\text{後者の }d\text{ は }c\text{ 個}$であり、s$\le$ N より両者は重ならない。したがって甲が勝つ d は合計 s 個で、$\displaystyle \text{その条件付き確率は }\frac{s}{N}\text{ である}$。 ゆえに $\displaystyle s\le N\text{ に対する甲の勝率は }\left(\frac{s}{N}\right)^2=\frac{s^2}{N^2}$ となる。 (1) $\displaystyle b=0\text{ なので }s=a\text{ であり、勝率は }\frac{a^2}{N^2}$ である。 (2) $\displaystyle b\text{ は }1,2,\ldots,N\text{ の一様な値をとる。 }b>N-a\text{ なら }a+b>N\text{ となり乙が直ちに勝つため、 }\Pr(\text{甲の勝ち})=\frac1N\sum\limits _{b=1}^{N-a}\frac{(a+b)^2}{N^2}=\frac1{N^3}\sum\limits _{k=a+1}^{N}k^2$ $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{m}k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}6$ を用いると、$\displaystyle \Pr(\text{甲の勝ち})=\frac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6N^3}$ である。 $a=N\text{ のときも和は空和 }0\text{ となり}$、この式と一致する。