6東京大学 2005年 数学 第6問解答・解説

二つの条件 $x^2+y^2\le r^2,\quad x^2+z^2\le r^2$ を満たす立体を $K$ とし、さらに $y^2+z^2\le r^2$ も満たす部分を $T$ とする。求める立体は $K$ から $T$ を除いた部分である。共通境界 $y^2+z^2=r^2$ は体積に影響しない。

まず $x$ を固定すると、$K$ の $yz$ 平面による断面は $|y|,|z|\le\sqrt{r^2-x^2}$ の正方形である。よって $$\displaystyle V(K)=\int_{-r}^{r}4(r^2-x^2)\,dx=\frac{16}{3}r^3.$$

$T$ は座標の符号変更と座標の入れ替えで不変である。したがって、8個の八分空間のそれぞれを座標の大小関係6通りに分けると、得られる48個の部分は合同である。第一八分空間のうち $x\ge y\ge z\ge0$ の部分では $x^2+y^2$ が三つの二乗和のうち最大なので、条件は $x^2+y^2\le r^2$ にまとまる。固定した $x$ における $yz$ 断面は $$\displaystyle 0\le z\le y\le\min\left(x,\sqrt{r^2-x^2}\right)$$で、その面積は上限の二乗の半分である。$\displaystyle x\le\frac r{\sqrt2}$ では上限が $x$、$\displaystyle x\ge\frac r{\sqrt2}$ では上限が $\sqrt{r^2-x^2}$ だから、$$\displaystyle \begin{aligned}V(T)&=48\left\{\frac12\int_0^{r/\sqrt2}x^2\,dx+\frac12\int_{r/\sqrt2}^{r}(r^2-x^2)\,dx\right\}\\&=48\left(\frac{r^3}{3}-\frac{r^3}{3\sqrt2}\right)=\left(16-8\sqrt2\right)r^3.\end{aligned}$$ したがって求める体積は $$\displaystyle V(K)-V(T)=\left(\frac{16}{3}-16+8\sqrt2\right)r^3=8\left(\sqrt2-\frac43\right)r^3.$$