2東京大学 2005年 数学 第2問解答・解説

平方完成すると $$w=z^2-2z=(z-1)^2-1.$$ $u^2=w+1$ となる複素数 u をとると、w を表す z は $z=1+u$ と $z=1-u$ である。w が T に属するなら、この2つはいずれも $\displaystyle |z|\le\frac54$ を満たす。したがって $$\displaystyle |1+u|^2+|1-u|^2=2+2|u|^2\le2\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{8},$$ ゆえに $\displaystyle |u|^2\le\frac9{16}$。よって三角不等式から $$\displaystyle |w|=|u^2-1|\le |u|^2+1\le\frac{25}{16}.$$

この上限は $\displaystyle u=\frac{3}{4}i$ のとき達成される。このとき $$\displaystyle w=u^2-1=-\frac{25}{16},\qquad z=1\pm\frac{3}{4}i,$$ であり、両方の逆像について $\displaystyle |z|^2=1+\frac9{16}=\frac{25}{16}$ だから $\displaystyle |z|=\frac54$。従って $\displaystyle w=-\frac{25}{16}$ は T に属し、上限を実現する。

また等号には $\displaystyle |u|^2=\frac9{16}$ と三角不等式の等号が必要で、後者は $u^2$ が負の実数のときに限る。よって $\displaystyle u^2=-\frac9{16}$、すなわち最大値を与える w は $\displaystyle w=-\frac{25}{16}$ である。