東京大学 2005年数学第4問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

東京大学2005年度第4問

3 以上 9999 以下の奇数 a で, $a^{2}-a$ が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$a=625.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

条件は $10000=16\cdot625$ が $a(a-1)$ を割り切ることである。 $a$ は奇数なので $16$ は $a$ を割らず、従って $16\mid a-1$ 。また、連続する整数 $a,a-1$ のうち5で割れるのは一方だけである。よって $625\mid a(a-1)$ なら、 $625$ はその一方を割り切る。したがって $16\mid a-1,\qquad 625\mid a\ \text{または}\ 625\mid a-1.$

まず $625\mid a$ とする。 $a=625q$ と書ける。 $16\mid a-1$ と $625\equiv1\pmod{16}$ から $q\equiv1\pmod{16}$ なので $a=625(16k+1)=10000k+625.$ $3\leq a\leq9999$ を満たすのは $k=0$ の場合だけで、 $a=625$ 。

次に $625\mid a-1$ とする。 $a-1=625q$ と書くと、 $16\mid a-1$ から $q\equiv0\pmod{16}$ 。よって $a=10000k+1$ となり、指定範囲に入らない。

最後に $625^2-625=390000=39\cdot10000$ だから $a=625$ は条件を満たす。したがって答えは $a=625.$

この問題で使う考え方

素因数分解と整除性
連続整数の互いに素性
16を法とする合同式

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