2名古屋大学 2005年 数学 第2問解答・解説

(1) 左辺を $P(z)$ とおくと $$(z-2)P(z)=z^6-64,\qquad P(2)=192\ne0.$$ 従って $z^6=64$ の6解から2を除けばよい。極形式により $$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}\right)\quad(k=1,2,3,4,5).$$ すなわち $z=-2,1\pm\sqrt3i,-1\pm\sqrt3i$。

(2) 5個の解を $z=p+qi$ と書き、条件の三次式を調べる。 $$\begin{array}{c|c|c} (p,q)&x^3+\sqrt3qx+q^2-p&\text{整数根}\\\hline (1,\sqrt3)&x^3+3x+2&\text{なし}\\ (-1,\sqrt3)&x^3+3x+4&-1\\ (-2,0)&x^3+2&\text{なし}\\ (-1,-\sqrt3)&x^3-3x+4&\text{なし}\\ (1,-\sqrt3)&x^3-3x+2&1,-2 \end{array}$$ 整数根があれば、その整数は定数項を割り切る。実際、$x^3+cx+d=0$ より $d=-x(x^2+c)$ だからである。 第1行の候補 $-2,-1,1,2$ に代入すると値は $-12,-2,6,16$。第3行では $-6,1,3,10$。 第4行の候補 $-4,-2,-1,1,2,4$ では $-48,2,6,2,6,56$ となり、いずれも0でない。 第2行は $x=-1$ が根であり、第5行は $(x-1)^2(x+2)$ に因数分解できる。従って $$z=-1+\sqrt3i,\qquad z=1-\sqrt3i.$$