3名古屋大学 2005年 数学 第3問解答・解説

辺の長さが1なので、時刻 t に各点が進んだ辺の割合は、P と R では t、Q と S では t/2 である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=t\overrightarrow a,\quad \overrightarrow{OQ}=\left(1-\frac t2\right)\overrightarrow a+\frac t2\overrightarrow b,\quad \overrightarrow{OR}=(1-t)\overrightarrow b+t\overrightarrow c,\quad \overrightarrow{OS}=\left(1-\frac t2\right)\overrightarrow c.$$ よって (1) の答えを得る。

正四面体なので、$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ は一次独立であり、この3方向を座標軸として位置を表せる。P,Q,R,S の座標は $$\displaystyle P=(t,0,0),\quad Q=\left(1-\frac t2,\frac t2,0\right),\quad R=(0,1-t,t),\quad S=\left(0,0,1-\frac t2\right).$$

線分 PR と QS が交わるなら、$0\le u\le1$ と $0\le v\le1$ を満たすある $u,v$ に対して $$P+u(R-P)=Q+v(S-Q)$$ となる。これを P からの差ベクトルで書けば $$u(R-P)=(1-v)(Q-P)+v(S-P),$$ すなわち $R-P,Q-P,S-P$ は一次従属である。したがって、その座標を列にもつ行列式は 0 でなければならない。 $$\displaystyle \begin{aligned} 0&=\det(Q-P,R-P,S-P)\\ &=\begin{vmatrix} 1-\frac{3t}{2}&-t&-t\\[2pt] \frac t2&1-t&0\\[2pt] 0&t&1-\frac t2 \end{vmatrix} =\frac14(2-3t)(2t^2-3t+2). \end{aligned}$$ 二次式 $2t^2-3t+2$ の判別式は $9-16=-7<0$ なので、交点があるための候補は $\displaystyle t=\frac23$ だけである。

このとき $$\displaystyle P=\left(\frac23,0,0\right),\quad Q=\left(\frac23,\frac13,0\right),\quad R=\left(0,\frac13,\frac23\right),\quad S=\left(0,0,\frac23\right).$$ よって $$\displaystyle \frac{P+R}{2}=\left(\frac13,\frac16,\frac13\right)=\frac{Q+S}{2}.$$ この点は両線分の中点であるから、実際に交点 M である。したがって $$\displaystyle t=\frac23,\qquad \overrightarrow{OM}=\frac13\overrightarrow a+\frac16\overrightarrow b+\frac13\overrightarrow c.$$