4名古屋大学 2005年 数学 第4問解答・解説

(a)

(1) $x=0$ から始める。1秒後は $$p_1(1)=q,\qquad p_1(-1)=1-q.$$ 2秒後には $$\displaystyle p_2(0)=\frac12p_1(1)+\frac12p_1(-1)=\frac12, \qquad p_2(2)=\frac q2, \qquad p_2(-2)=\frac{1-q}{2}.$$ したがって $$\displaystyle p_3(1)=q p_2(0)+\frac12p_2(2)=\frac{3q}{4},\qquad p_3(-1)=(1-q)p_2(0)+\frac12p_2(-2)=\frac{3(1-q)}{4},$$ ゆえに $$\displaystyle p_3(1)+p_3(-1)=\frac34.$$

(2) $m=0,1,2,\ldots$ に対して $$S_n(m)=p_n(m)+p_n(-m)$$ とおく。特に $S_n(0)=2p_n(0)$ である。遷移規則から $$\displaystyle p_{n+1}(0)=\frac12p_n(1)+\frac12p_n(-1),\quad p_{n+1}(1)=q p_n(0)+\frac12p_n(2),\quad p_{n+1}(-1)=(1-q)p_n(0)+\frac12p_n(-2).$$ したがって $$S_{n+1}(0)=2p_{n+1}(0)=S_n(1),$$ $$\displaystyle \begin{aligned} S_{n+1}(1)&=p_{n+1}(1)+p_{n+1}(-1)\\ &=q p_n(0)+\frac12p_n(2)+(1-q)p_n(0)+\frac12p_n(-2)\\ &=p_n(0)+\frac12\{p_n(2)+p_n(-2)\} =\frac12S_n(0)+\frac12S_n(2). \end{aligned}$$ また $m\ge2$ では $$\displaystyle S_{n+1}(m)=\frac12S_n(m-1)+\frac12S_n(m+1).$$ これらの漸化式には $q$ が現れない。一方、初期値は $S_0(0)=2$、$m\ge1$ で $S_0(m)=0$ であり、いずれも $q$ によらない。よって数学的帰納法により、すべての $n\ge0$ と $m\ge0$ で $S_n(m)$ は $q$ によらない。任意の整数 $m$ に対して $$p_n(m)+p_n(-m)=S_n(|m|)$$ だから、求める主張が従う。

(3) (2) の $m=0$ の場合から $p_n(0)$ も $q$ によらないので、$q=1/2$ として求める。このとき各時刻に $+1,-1$ のいずれへ進む確率も $1/2$ である。$n$ が奇数なら、$n$ 回の移動後の位置の偶奇は奇数であるから $0$ には戻らない。$n=2k$ のときは、$2k$ 回のうち $k$ 回ずつ正負の移動をする場合に限り $0$ に戻る。そのような並べ方は $\displaystyle \binom{2k}{k}$ 通りで、それぞれの確率は $2^{-2k}$ である。したがって $$\displaystyle p_n(0)=\begin{cases} 0,&n\text{ が奇数},\\[2mm] \displaystyle\frac{\binom{2k}{k}}{2^{2k}},&n=2k\ (k=0,1,2,\ldots). \end{cases}$$

(b)

(1) $\displaystyle I=\int_0^\pi(x-\pi/2)f(x)\,dx$ とおく。$t=\pi-x$ と置換し、仮定 $f(\pi-t)=f(t)$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_0^\pi\bigl((\pi-t)-\pi/2\bigr)f(\pi-t)\,dt\\ &=\int_0^\pi(\pi/2-t)f(t)\,dt=-I. \end{aligned}$$ よって $I=0$ であり、示された。

(2) $\displaystyle g(x)=\dfrac{\sin^3x}{4-\cos^2x}$ とおく。分母は $4-\cos^2x\ge3$ なので $g$ は連続であり、$\sin(\pi-x)=\sin x$、$\cos^2(\pi-x)=\cos^2x$ から $g(\pi-x)=g(x)$ である。(1)を $g$ に適用して $$\displaystyle \int_0^\pi xg(x)\,dx=\frac\pi2\int_0^\pi g(x)\,dx$$ を得る。右辺の積分を $t=\cos x$ と置換すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi g(x)\,dx &=\int_{-1}^{1}\frac{1-t^2}{4-t^2}\,dt\\ &=2\int_0^1\left(1-\frac{3}{4-t^2}\right)dt. \end{aligned}$$ ここで $$\displaystyle \frac1{4-t^2}=\frac14\left(\frac1{2+t}+\frac1{2-t}\right),\qquad \int_0^1\frac{dt}{4-t^2}=\frac14\log3.$$ よって $$\displaystyle \int_0^\pi g(x)\,dx=2-\frac32\log3,$$ したがって求める値は $$\displaystyle \int_0^\pi\frac{x\sin^3x}{4-\cos^2x}\,dx =\frac\pi2\left(2-\frac32\log3\right) =\pi-\frac{3\pi}{4}\log3.$$