1昭和大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) $c=\cos x$ とおくと、$$4\sin^2x+(2-2\sqrt2)\cos x+\sqrt2-4=-(2c-1)(2c+\sqrt2).$$ だから $\displaystyle -\frac{\sqrt2}{2}\le c\le\frac12$。よって $\displaystyle \frac\pi3\le x\le\frac{3\pi}4$ または $\displaystyle \frac{5\pi}4\le x\le\frac{5\pi}3$。 (2) $a_n=4n-1,\quad b_m=1005-5m$。共通項 $t$ は $t\equiv3\pmod4,\quad t\equiv0\pmod5$ を満たし、範囲 $3\le t\le1000$ で $t=15+20k\ (k=0,\ldots,49)$。よって個数は $50$、総和は $$\displaystyle \frac{50(15+995)}2=25250.$$ (3) 3人の手の全 $27$ 通りのうち、全員同じ $3$ 通りと全員異なる $6$ 通りでは勝者がいないので、(3-1) は $\displaystyle \frac9{27}=\frac13$。1人対2人の $18$ 通りは、1人勝ち $9$ 通り・2人勝ち $9$ 通りに分かれる。したがって3人段階からは確率 $\displaystyle \frac13$ ずつで、未決定のまま3人、2人勝ちの対戦へ移行、1人決定となる。2人対戦は同じ手の確率 $\displaystyle \frac13$ で未決定のまま続く。 (3-2) は、1回目に勝者なしの後に2回目も1人に決まらない確率 $\displaystyle \frac13\cdot\frac23=\frac29$ と、1回目に2人勝ちの後に2人対戦が引き分ける確率 $\displaystyle \frac13\cdot\frac13=\frac19$ の和で $\displaystyle \frac13$。 (3-3) $n$ 回後に3人段階にいる確率を $A_n$、2人対戦中である確率を $B_n$ とする。$$\displaystyle A_0=1,\quad B_0=0,\quad A_n=\frac13A_{n-1},\quad B_n=\frac13A_{n-1}+\frac13B_{n-1}.$$ 帰納法で $A_n=3^{-n},\quad B_n=n3^{-n}$ となるから、求める確率は $$\displaystyle A_n+B_n=\frac{n+1}{3^n}.$$