2昭和大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) 内分点の公式から $$\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac23\vec b-\frac23\vec a,\qquad \overrightarrow{OM}=\frac13\vec a+\frac23\vec b.$$ $Q$ は直線 $OM$ 上にあるので $\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OM}$ と表せる。また、直線 $BP$ 上にあるので $\overrightarrow{OQ}=(1-s)\vec b+sp\vec a$ と表せる。係数を比較すると $$\lambda/3=sp,\qquad 2\lambda/3=1-s$$ だから $\displaystyle \lambda=\frac{3p}{1+2p}$ である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{p}{1+2p}(\vec a+2\vec b).$$

(2) (1)より $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-p\vec a=\frac{2p}{1+2p}(\vec b-p\vec a).$$

(3) $|\vec a|=|\vec b|=1$、$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac12$ より $$\displaystyle OP=p,\qquad OQ=\frac{p\sqrt7}{1+2p},\qquad PQ=\frac{2p\sqrt{p^2-p+1}}{1+2p}.$$ $OP=OQ$ から $1+2p=\sqrt7$、よって $\displaystyle p=\frac{\sqrt7-1}{2}$ を得る。 $OP=PQ$ から $(1+2p)^2=4(p^2-p+1)$、よって $\displaystyle p=\frac38$ を得る。 $OQ=PQ$ から $7=4(p^2-p+1)$、よって $\displaystyle p=\frac32$ または $\displaystyle -\frac12$ となるが、いずれも $0<p<1$ を満たさない。以上より答えは $$\displaystyle p=\frac38,\quad\frac{\sqrt7-1}{2}.$$