2九州大学 2013年 数学 第2問解答・解説

方針.　 正方形 $OABC$ の隣り合う2辺 $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OC}$ は大きさ1で互いに垂直だから，これらと底面 $OABC$ に垂直な単位ベクトル $\vec n$ を合わせた $\{\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OC},\ \vec n\}$ は空間の正規直交基底になる。この基底で $\overrightarrow{OP}$ を成分表示し，与えられた内積条件で水平成分を決め，垂直条件（$\overrightarrow{PQ}\perp$ 平面 $OMN$）から高さ成分と点 $Q$ の位置を決定する。

1. 基底の設定と $\overrightarrow{OP}$ の分解.

$\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec c=\overrightarrow{OC}$ とおく。正方形 $OABC$（頂点はこの順に並ぶ）より $$|\vec a|=|\vec c|=1,\qquad \vec a\cdot\vec c=0,\qquad \overrightarrow{OB}=\vec a+\vec c .$$ 底面 $OABC$ に垂直な単位ベクトルを $\vec n$（$\vec n\cdot\vec a=\vec n\cdot\vec c=0,\ |\vec n|=1$）とすると，$\{\vec a,\vec c,\vec n\}$ は空間の正規直交基底なので，実数 $x,y,h$ を用いて $$\overrightarrow{OP}=x\vec a+y\vec c+h\vec n$$ と一意に表せる。両辺と $\vec a$ の内積をとると $\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=x=\dfrac14$，同様に $\displaystyle \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OP}=y=\dfrac12$ を得る。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac14\vec a+\frac12\vec c+h\vec n$$ となる（$h$ は四角錐の高さに対応する成分で，四角錐が退化しないことから $h\neq0$）。以下 $(\ \cdot\ )$ 成分は基底 $(\vec a,\vec c,\vec n)$ に関する座標として扱う： $$\displaystyle O=(0,0,0),\quad A=(1,0,0),\quad C=(0,1,0),\quad B=(1,1,0),\quad P=\left(\frac14,\ \frac12,\ h\right).$$

2. $M,\ N,\ Q$ の位置ベクトル.

$M$ は辺 $AP$ を $2:1$ に内分するから $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac13\overrightarrow{OA}+\frac23\overrightarrow{OP} =\frac13(1,0,0)+\frac23\left(\frac14,\frac12,h\right) =\left(\frac12,\ \frac13,\ \frac{2h}{3}\right).$$ $N$ は辺 $CP$ の中点だから $$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac12\overrightarrow{OC}+\frac12\overrightarrow{OP} =\frac12(0,1,0)+\frac12\left(\frac14,\frac12,h\right) =\left(\frac18,\ \frac34,\ \frac{h}{2}\right).$$ $Q$ は直線 $BC$ 上の点だから，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\vec a$ を用いて実数 $t$ により $$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OC}+t\,\overrightarrow{CB}=t\vec a+\vec c=(t,\ 1,\ 0)$$ とおける（$t=0$ で $Q=C$，$t=1$ で $Q=B$；$t$ が $0\le t\le1$ の外なら $Q$ は延長上の点）。

3. 垂直条件.

$$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\left(t-\frac14,\ \frac12,\ -h\right).$$ $O,M,N$ は同一直線上にないので，平面 $OMN$ は $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ で張られる。したがって $$PQ\perp\text{平面 }OMN \text{、すなわち } \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OM}=0\ \text{かつ}\ \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{ON}=0 .$$ 基底が正規直交なので内積は成分の積の和でよい。

$$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OM} =\left(t-\frac14\right)\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac13+(-h)\cdot\frac{2h}{3}=0 \ \text{したがって}\ \frac{t-\frac14}{2}+\frac16-\frac{2}{3}h^2=0. \tag{I}$$ $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{ON} =\left(t-\frac14\right)\cdot\frac18+\frac12\cdot\frac34+(-h)\cdot\frac{h}{2}=0 \ \text{したがって}\ \frac{t-\frac14}{8}+\frac38-\frac12h^2=0. \tag{II}$$

4. $h,\ t$ の決定.

(I) より $\displaystyle t-\dfrac14=\dfrac{4}{3}h^2-\dfrac13$，(II) より $\displaystyle t-\dfrac14=4h^2-3$。この2式を等置して $$\displaystyle \frac{4}{3}h^2-\frac13=4h^2-3 \ \text{したがって}\ 4h^2-1=12h^2-9\ \text{したがって}\ 8h^2=8\ \text{したがって}\ h^2=1 .$$ 四角錐が退化しないための条件 $h\neq0$ と矛盾せず，$h=\pm1$ のいずれも底面に対して $P$ を鏡映した合同な配置を与えるだけなので，一般性を失わずに $h=1$ ととってよい。このとき $$\displaystyle t-\frac14=4\cdot1-3=1\ \text{したがって}\ t=\frac54 .$$

5. $BQ:QC$ の決定.

$|\vec a|=1$ より $C$ から $Q$ までの距離は $\displaystyle CQ=t\cdot|\vec a|=t=\dfrac54$（$t>0$ の向きに測る）。$\displaystyle t=\dfrac54>1$ なので $Q$ は線分 $CB$ を $B$側に延長した位置にあり， $$\displaystyle BQ=CQ-CB=\frac54-1=\frac14 .$$ よって $$\displaystyle BQ:QC=\frac14:\frac54=1:5 .$$ （$Q$ は辺 $BC$ の延長上，$B$ を越えた点で，$CB$ の長さの $\displaystyle \frac14$ だけ $B$ から外側にある。）

6. $OP$ の長さ.

$$\displaystyle OP^2=\left(\frac14\right)^2+\left(\frac12\right)^2+h^2=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{16}{16}=\frac{21}{16}.$$ $OP>0$ より $$\displaystyle OP=\frac{\sqrt{21}}{4}.$$

7. 検算.

$h=1$ として座標を $\displaystyle O=(0,0,0),A=(1,0,0),C=(0,1,0),B=(1,1,0),P=\left(\frac14,\frac12,1\right)$（基底成分をそのまま直交座標とみなす）ととると， $$\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=\frac14,\qquad \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OP}=\frac12$$ は与条件と一致する。$\displaystyle M=\left(\frac12,\frac13,\frac23\right),\ N=\left(\frac18,\frac34,\frac12\right)$，$\displaystyle Q=\left(\frac54,1,0\right)$ から $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\left(1,\ \frac12,\ -1\right),$$ $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OM}=1\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac13+(-1)\cdot\frac23=\frac12+\frac16-\frac23=0,$$ $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{ON}=1\cdot\frac18+\frac12\cdot\frac34+(-1)\cdot\frac12=\frac18+\frac38-\frac12=0$$ となり，$\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{ON}$（したがって平面 $OMN$ に垂直）であることが確認できる。また $$\displaystyle BQ=|Q-B|=\left|\left(\frac14,0,0\right)\right|=\frac14,\qquad QC=|C-Q|=\left|\left(-\frac54,0,0\right)\right|=\frac54$$ より $BQ:QC=1:5$， $$\displaystyle OP=\left|\left(\frac14,\frac12,1\right)\right|=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac14+1}=\sqrt{\frac{21}{16}}=\frac{\sqrt{21}}{4}$$ も一致し，解は正しい。

結論.　 $$\displaystyle BQ:QC=1:5,\qquad OP=\frac{\sqrt{21}}{4}.$$