4熊本大学 2012年 数学 第4問解答・解説

正四面体の各面は正三角形なので，$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の長さは $\sqrt{2}$，それぞれの内積は $2\cos 60^\circ=1$ である。したがって $$\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{b}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{c}=2,\qquad \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=1.$$ また，内分点の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OL}=\frac12\vec{c},\qquad \overrightarrow{OM}=\frac12(\vec{a}+\vec{b}),\qquad \overrightarrow{ON}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$$ である。

(問 1) $\overrightarrow{OD}=t\vec{a}$ とおく。点 $D$ は平面 $LMN$ 上にあるから，ある実数 $r,s$ によって $$t\vec{a}=(1-r-s)\overrightarrow{OL}+r\overrightarrow{OM}+s\overrightarrow{ON}$$ と表せる。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数を比較すると $$\displaystyle t=\frac r2,\qquad 0=\frac r2+\frac{2s}{3},\qquad 0=\frac{1-r-s}{2}+\frac s3.$$ 第1式から $r=2t$，第2式から $\displaystyle s=-\frac{3t}{2}$ であり，第3式は $$\displaystyle 0=\frac12-t+\frac t4=\frac12-\frac{3t}{4}$$ となるので $\displaystyle t=\frac23$。よって $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OD}=\frac23\vec{a}}.$$

(問 2) $\displaystyle \overrightarrow{OK}=\frac12\vec{b}$ とし，直線 $DN$ の方向ベクトルを $$\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OD}=-\frac23\vec{a}+\frac23\vec{b}+\frac13\vec{c}$$ とする。点 $P$ を $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OD}+\lambda\vec{v}$ とおくと，$KP\perp DN$ より $(\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP})\cdot\vec{v}=0$。したがって $$\displaystyle \lambda=\frac{(\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OD})\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}.$$ 内積の値を用いて計算すると $$\displaystyle (\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OD})\cdot\vec{v}=\left(-\frac23\vec{a}+\frac12\vec{b}\right)\cdot\left(-\frac23\vec{a}+\frac23\vec{b}+\frac13\vec{c}\right)=\frac89-\frac49-\frac29-\frac13+\frac23+\frac16=\frac{13}{18},$$ $$\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{v}=\frac89+\frac89+\frac29-\frac89-\frac49+\frac49=\frac{10}{9}.$$ よって $\displaystyle \lambda=\frac{13}{20}$ であり， $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac23\vec{a}+\frac{13}{20}\left(-\frac23\vec{a}+\frac23\vec{b}+\frac13\vec{c}\right)=\frac{7}{30}\vec{a}+\frac{13}{30}\vec{b}+\frac{13}{60}\vec{c}.$$ これは $P$ が直線 $DN$ 上にある表現であり，定めた $\lambda$ によって $KP$ と $DN$ の方向ベクトルの内積が $0$ となるため，垂線の足の条件も満たす。