1熊本大学 2012年 数学 第1問解答・解説

採用解説: MM-f432b522ea1a-Q1 結論　 (問 1) $\displaystyle \binom{n}{4}$通り　 /　 (問 2) 最大値 n-4, 最小値 4-n　 /　 (問 3) 最大値を与える数列 $\displaystyle \binom{n-2}{2}$通り、最小値を与える数列 n-3通り　 　 4個の $-1$ が現れる位置を $1\leq i_1<i_2<i_3<i_4\leq n$ とする。

(問 1) 4個の位置を $n$ 個の位置から選べばよいから、数列の個数は $\displaystyle \binom{n}{4}$ 通りである。

(問 2) $b_k$ は、$k$ が $i_1,i_2,i_3,i_4$ を越えるたびに符号が変わる。したがって、$b_k$ は順に、$i_1-1$ 個の $+1$、$i_2-i_1$ 個の $-1$、$i_3-i_2$ 個の $+1$、$i_4-i_3$ 個の $-1$、$n-i_4+1$ 個の $+1$ となる。よって、$S=b_1+\cdots+b_n$ とおくと $$\begin{aligned}S&=(i_1-1)-(i_2-i_1)+(i_3-i_2)-(i_4-i_3)+(n-i_4+1)\\&=n-2\bigl\{(i_2-i_1)+(i_4-i_3)\bigr\}.\end{aligned}$$ ここで $x=i_1,\ u=i_2-i_1,\ v=i_3-i_2,\ w=i_4-i_3,\ t=n-i_4$ とおくと、$x,u,v,w\geq1,\ t\geq0$ であり、$x+u+v+w+t=n$ である。したがって $2\leq u+w\leq n-2$ なので、 $$4-n=n-2(n-2)\leq S\leq n-2\cdot2=n-4.$$ $u=w=1$ とできるので最大値 $n-4$ をとり、また $x=v=1,\ t=0$ として $u+w=n-2$ とできるので最小値 $4-n$ をとる。

(問 3) 最大値をとる条件は $u=w=1$ である。このとき $x-1, v-1, t$ は非負整数で、その和は $n-4$ となる。よってその組は $\displaystyle \binom{n-2}{2}$ 通りであり、最大値を与える数列も $\displaystyle \binom{n-2}{2}$ 通りである。最小値をとる条件は $x=v=1,\ t=0$ であり、残りは $u+w=n-2$ を満たす正整数 $u,w$ である。$u=1,2,\ldots,n-3$ と選べるから、最小値を与える数列は $n-3$ 通りである。$n=4$ では唯一の数列について $S=0$ となり、これらの値と個数はいずれも一致する。