3熊本大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$x$ は実数として，$u=ax$ とおく。$a>0$ なので $u$ と $x$ の符号は同じである。

(問1) $u\leq0$ なら，$0\leq t\leq\pi/2$ で $\sin t-u\cos t\geq0$ だから，絶対値を外して $$\displaystyle f(x)=\int_0^{\pi/2}(\sin t-u\cos t)\,dt=1-u=1-ax.$$

次に $u>0$ とする。$t_0=\arctan u$ は $0<t_0<\pi/2$ を満たし，$\sin t-u\cos t$ は $0\leq t<t_0$ で負，$t_0<t\leq\pi/2$ で正である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} f(x) &=\int_0^{t_0}(u\cos t-\sin t)\,dt +\int_{t_0}^{\pi/2}(\sin t-u\cos t)\,dt\\ &=u\sin t_0+\cos t_0-1+\cos t_0+u\sin t_0-u. \end{aligned}$$ $\tan t_0=u$ から $\sin t_0=u/\sqrt{1+u^2}$，$\cos t_0=1/\sqrt{1+u^2}$ なので，$u\sin t_0+\cos t_0=\sqrt{1+u^2}$ である。したがって $u>0$ では $f(x)=2\sqrt{1+u^2}-1-u$。$u=0$ ではこの式も $1$ になる。ゆえに $$f(x)= \begin{cases} 1-ax,&x\leq0,\\ 2\sqrt{1+a^2x^2}-1-ax,&x>0. \end{cases}$$

(問2) $x\leq0$ では $f(x)=1-ax\geq1$。$u=ax\geq0$ では $g(u)=2\sqrt{1+u^2}-1-u$ とおくと $$\displaystyle g'(u)=\frac{2u}{\sqrt{1+u^2}}-1.$$ $u\geq0$ において，$g'(u)<0$ は $2u<\sqrt{1+u^2}$，すなわち $u<1/\sqrt3$ と同値であり，$g'(u)>0$ は $u>1/\sqrt3$ と同値である。したがって $g$ は $u=1/\sqrt3$ で最小となる。このとき $$\displaystyle g\!\left(\frac1{\sqrt3}\right)=2\sqrt{1+\frac13}-1-\frac1{\sqrt3}=\sqrt3-1<1.$$ $x\leq0$ での値より小さいので，全体の最小値は $\sqrt3-1$ であり，それをとるのは $u=ax=1/\sqrt3$，すなわち $x=1/(a\sqrt3)$ のときである。