8愛媛大学 2010年 数学 第8問解答・解説

(1) $f(x)=x^2e^{-2x^3/3}$ より、積の微分法と合成関数の微分法から $$f'(x)=2xe^{-2x^3/3}-2x^4e^{-2x^3/3}=2x(1-x^3)e^{-2x^3/3}.$$ $e^{-2x^3/3}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $x(1-x^3)$ の符号と一致する。したがって、 $$x<0\text{では }f'(x)<0,\quad 0<x<1\text{では }f'(x)>0,\quad x>1\text{では }f'(x)<0.$$ よって $f$ は $x\le0$ で減少し、$0\le x\le1$ で増加し、$x\ge1$ で減少する。 $$f(0)=0,\qquad f(1)=e^{-2/3}$$ であるから、$x=0$ で極小値 $0$、$x=1$ で極大値 $e^{-2/3}$ をとる。なお、$x\to-\infty$ のとき $f(x)\to\infty$ なので、全実数での最大値は存在しない。

(2) $\displaystyle u=\frac23x^3$ とおくと、$du=2x^2\,dx$ である。したがって $$\displaystyle \int_1^n f(x)\,dx=\frac12\int_{2/3}^{2n^3/3}e^{-u}\,du=\frac12\left(e^{-2/3}-e^{-2n^3/3}\right).$$ $n=1$ の場合もこの式は $0$ となり成り立つ。

(3) $n=1$ のとき、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n f(k)=f(1)=e^{-2/3}<\frac32e^{-2/3}.$$ $n\ge2$ とする。(1)より $f$ は $[1,\infty)$ で減少するので、$k=2,3,\ldots,n$ について $k-1\le x<k$ ならば $f(x)>f(k)$ である。これを $k-1\le x\le k$ の範囲で積分すると $$\displaystyle f(k)<\int_{k-1}^{k}f(x)\,dx.$$ よってこれらを加え、(2)を用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n f(k)<f(1)+\int_1^n f(x)\,dx=e^{-2/3}+\frac12\left(e^{-2/3}-e^{-2n^3/3}\right)=\frac32e^{-2/3}-\frac12e^{-2n^3/3}<\frac32e^{-2/3}.$$ $n=1$ の場合も含め、すべての自然数 $n$ について示された。