6愛媛大学 2010年 数学 第6問解答・解説

(1)(i) $\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$ より， $$\displaystyle a_2=\frac{1/2}{1-(1/2)^2}=\frac{2}{3},\qquad b_2=a_2b_1=\frac{1}{3}.$$ さらに， $$\displaystyle a_3=\frac{2/3}{1-(1/3)^2}=\frac{3}{4},\qquad b_3=a_3b_2=\frac{1}{4}.$$ (1)(ii) (i)の値から， $$\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1},\qquad b_n=\frac{1}{n+1}$$ と推定する。数学的帰納法で証明する。 $n=1$ では初期条件と一致する。 $n\ge1$ として， $$\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1},\qquad b_n=\frac{1}{n+1}$$ が成り立つと仮定する。このとき $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac{a_n}{1-b_n^2}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{(n+1)^2}{(n+1)^2-1}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n+1}{n+2},\\ b_{n+1}&=a_{n+1}b_n=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+2}. \end{aligned}$$ よって $n+1$ でも成立する。以上より，すべての自然数 $n$ について推定式が成り立つ。

(2)(i) すべての $n$ で漸化式が定義されるから $b_n\ne-1,1$ であり， $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}+b_{n+1}&=a_{n+1}(1+b_n)=\frac{a_n(1+b_n)}{1-b_n^2}\\ &=\frac{a_n(1+b_n)}{(1-b_n)(1+b_n)}=\frac{a_n}{1-b_n}. \end{aligned}$$ (2)(ii) $\displaystyle a_1+b_1=\frac{1}{2010}+\frac{2009}{2010}=1$ である。 $a_n+b_n=1$ と仮定すると $a_n=1-b_n$ であり、(i)より $$\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n}=1.$$ したがって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $a_n+b_n=1$ である。