5広島大学 2011年 数学 第5問解答・解説

(1) 1回目に表が出れば石はBへ、裏が出ればAにとどまる。したがって $$\displaystyle a_1=\frac12,\qquad b_1=\frac12,\qquad c_1=0.$$ (2) n+1回目の後にAにあるのは、n回目の後にAにあって裏が出る場合、またはCにあって表が出る場合である。同様にB、Cについても最後の1回の結果で場合分けすると $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+c_n}{2},\qquad b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\qquad c_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{2}.$$ これに(1)を代入して $$\displaystyle (a_2,b_2,c_2)=\left(\frac14,\frac12,\frac14\right).$$ さらにこの値を漸化式に代入して $$\displaystyle (a_3,b_3,c_3)=\left(\frac14,\frac38,\frac38\right).$$ (3) 位置はA,B,Cのいずれかなので、すべてのn$\ge$1について $$a_n+b_n+c_n=1.$$ 差を $x_n=a_n-b_n,\ y_n=b_n-c_n,\ z_n=c_n-a_n$ とおく。(2)の漸化式から $$\displaystyle x_{n+1}=-\frac{y_n}{2},\qquad y_{n+1}=-\frac{z_n}{2},\qquad z_{n+1}=-\frac{x_n}{2}.$$ また、(1)より $x_1=0$ である。よってこの差の関係を順に用いると $$z_2=0,\quad y_3=0,\quad x_4=0,\quad z_5=0,\quad y_6=0,\quad x_7=0,\ \ldots$$ となる。実際、$x_{1+3k}=0$ ならば $z_{2+3k}=0,\ y_{3+3k}=0,\ x_{4+3k}=0$ であるから、数学的帰納法により$$x_{1+3k}=0,\qquad z_{2+3k}=0,\qquad y_{3+3k}=0\qquad(k=0,1,2,\ldots).$$したがって $$a_n=b_n\ (n\equiv1\pmod3),\qquad c_n=a_n\ (n\equiv2\pmod3),\qquad b_n=c_n\ (n\equiv0\pmod3),$$ ゆえにどのn$\ge$1でも $a_n,b_n,c_n$ のうち二つが一致する。 (4) (3)で一致する二つの値を $p_n$ とする。各nで $a_n+b_n+c_n=1$ であり、等しい二つ以外の値は $1-2p_n$ である。(3)の一致する組はnを1増やすごとに $$a_n=b_n\ \longrightarrow\ a_{n+1}=c_{n+1},\qquad c_n=a_n\ \longrightarrow\ b_{n+1}=c_{n+1},\qquad b_n=c_n\ \longrightarrow\ a_{n+1}=b_{n+1}.$$ 各場合で、次の時点に一致する値は等しい値$p_n$と残る値$1-2p_n$の平均だから $$\displaystyle p_{n+1}=\frac{p_n+(1-2p_n)}{2}=\frac{1-p_n}{2}.$$ また $\displaystyle p_1=\frac12$ である。したがって $$\displaystyle p_{n+1}-\frac13=-\frac12\left(p_n-\frac13\right), \qquad p_n-\frac13=\left(-\frac12\right)^{n-1}\left(\frac12-\frac13\right) =\frac{(-1)^{n-1}}{3\cdot2^n}.$$ ゆえに $$\displaystyle p_n=\frac13+\frac{(-1)^{n-1}}{3\cdot2^n}\qquad(n\ge1).$$