広島大学 2011年数学第1問解答・解説

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1問題

広島大学2011年度第1問

実数 $a,b$ に対して，2次正方行列 $A=\begin{pmatrix}a&2-a\\1+a&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2b\\b\end{pmatrix}$ と定め， $E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ とする。等式 $\begin{pmatrix}x\prime\\y\prime\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+B$ により，座標平面上の点 $P(x,y)$ に対し点 $P\prime(x\prime,y\prime)$ が定まるものとする。次の問いに答えよ。

(1) $a=b=-1$ のとき，点 $P\prime(3,2)$ となる点 $P(x,y)$ を求めよ。

(2) $A^2=kE$ （ $k$ は実数）を満たすとき， $a,k$ の値を求めよ。

(3) どんな点 $P$ に対しても点 $P\prime$ が原点 $O$ に一致しないための $a,b$ の条件を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$P=(−1/2,3/2)$
(2)
$a=−2,k=0$
(3)
$a=1,b≠0$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $a=b=-1$ なら $x'=-x+3y-2, y'=2y-1$ 。 $P'=(3,2)$ より $y=3/2,x=-1/2$ 。 (2) 直接乗算すると $A^2=\begin{pmatrix}a+2&4-a^2\\(a+1)(a+2)&6+a-a^2\end{pmatrix}.$ 非対角成分を0とする条件は $a=\pm2$ と $a=-1,-2$ の共通解 $a=-2$ 。そのとき $A^2=0$ だから $k=0$ 。 (3) $P'=O$ は $A(x,y)^T=-B$ が解を持つことと同値。 $\det A=(a+2)(a-1)$ 。 $a\ne-2,1$ なら解があり、 $a=-2$ も二式が従属し任意のbで解がある。 $a=1$ では連立式が $x+y=-2b$ と $x+y=-b/2$ となり、b=0のときだけ解がある。よって解がない条件は $a=1,b\ne0$ 。

線形変換の式を原文どおり二成分に展開し、(1)連立一次方程式、(2)A²の全成分、(3)特異行列の場合分けを確認。旧解答の三結論は正しい。

この問題で使う考え方

2×2行列の乗法
連立一次方程式
行列式・一次方程式の解の有無

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