広島大学 2011年数学第2問解答・解説

数と式指数関数・対数関数数学と人間の活動（整数）

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1問題

広島大学2011年度第2問

次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle \log_2 3=\frac{m}{n}$ を満たす自然数 $m,n$ は存在しないことを証明せよ。

(2) $p,q$ を異なる自然数とするとき， $p\log_2 3$ と $q\log_2 3$ の小数部分は等しくないことを証明せよ。

(3) $\log_2 3$ の値の小数第1位を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad \log_2 3\quad$ は無理数。(2) $\quad p\ne q\quad$ なら $\quad p\log_2 3\quad$ と $\quad q\log_2 3\quad$ の小数部分は異なる。(3) $\quad \log_2 3\quad$ の小数第1位は $\quad 5\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\log_2 3=m/n$ を満たす自然数 $m,n$ があると仮定する。対数の定義より $2^{m/n}=3$ なので、両辺を $n$ 乗して $2^m=3^n.$ 左辺は偶数、右辺は奇数となり矛盾する。従って $\log_2 3$ は無理数である。

(2) $\alpha=\log_2 3$ とし、異なる自然数 $p,q$ で小数部分が等しいと仮定する。整数部分をそれぞれ $a,b$ とすれば $p\alpha-a=q\alpha-b,$ したがって $(p-q)\alpha=a-b$ 。 $p-q$ は0でない整数だから、この等式は $\alpha$ が有理数であることを意味し、(1)に矛盾する。

(3) $2^{3/2}=\sqrt8<3$ より $3/2<\log_2 3$ 。また $3^5=243<256=2^8=(2^{8/5})^5$ より $3<2^{8/5}$ 、従って $\log_2 3<8/5$ 。ゆえに $1.5<\log_2 3<1.6,$ したがって小数第1位の数字は $5$ である。

この問題で使う考え方

対数の定義
偶奇による矛盾
整数部分と小数部分
整数乗による大小比較

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