3広島大学 2011年 数学 第3問解答・解説

・ 倍角の公式から $$\displaystyle f(x)=\frac{a+c}{2}+\frac{a-c}{2}\cos 2x+b\sin 2x.$$ $f$ が定数なら $\displaystyle f(0)=f(\frac{\pi}{2})$ より $a=c$。さらに $\displaystyle f(\frac{\pi}{4})=f(0)$ より $b=0$。逆に $a=c,\ b=0$ なら $$f(x)=a(\cos^2x+\sin^2x)=a$$ である。したがって条件は $a=c,\ b=0$。

・ 倍角の公式により $$\displaystyle g(x)=\frac32\cos 2x+\sin 2x.$$ $\displaystyle 0<\phi<\frac{\pi}{2}$ かつ $$\displaystyle \cos\phi=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \sin\phi=\frac{2}{\sqrt{13}}$$ となる角 $\phi$ をとると $$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{13}}{2}\cos(2x-\phi).$$ 条件 $\displaystyle -\frac{\pi}{4}\leq x\leq\frac{\pi}{4}$ から $$\displaystyle -\frac{\pi}{2}-\phi\leq2x-\phi\leq\frac{\pi}{2}-\phi.$$ この範囲に $0$ が含まれ、$\cos(2x-\phi)\leq1$ は $2x-\phi=0$ のとき成立する。よって最大値をとる点は $\displaystyle \theta=\frac{\phi}{2}$ であり $$\displaystyle \cos2\theta=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \sin2\theta=\frac{2}{\sqrt{13}}.$$

・ $t=2x$ と置換する。$2\theta=\phi$ より $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\theta g(x)\,dx &=\frac12\int_0^\phi\left(\frac32\cos t+\sin t\right)\,dt\\ &=\frac12\left[\frac32\sin t-\cos t\right]_0^\phi\\ &=\frac12\left(\frac32\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}-\frac{3}{\sqrt{13}}+1\right) =\frac12. \end{aligned}$$

(1) は倍角の公式と特別な値から必要十分条件を示す。(2) は三角関数を合成し、指定区間における余弦の最大値を確認する。(3) は置換積分で求める。