4広島大学 2011年 数学 第4問解答・解説

$(1)$ 位置ベクトルをP基準で表す。OはABをAO:OB=1:2に内分するので $$\displaystyle \overrightarrow{PO}=\frac{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}{3}.$$ また、OはBCの中点だから $$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PO} =\frac{2(\overrightarrow b-\overrightarrow a)}{3},\qquad \overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{PB} =\frac{4\overrightarrow a-\overrightarrow b}{3}.$$

$(2)$ Pが円Sの内部なので $PO<OB$。両辺を二乗して $$|2\overrightarrow a+\overrightarrow b|^2 <4|\overrightarrow b-\overrightarrow a|^2.$$ 展開すると $12\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b<3|\overrightarrow b|^2$。ここで $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos\theta$ より $$\displaystyle \cos\theta<\frac{|\overrightarrow b|}{4|\overrightarrow a|}.$$

$(3)$ 直線PB上の点Xを $\overrightarrow{PX}=t\overrightarrow b$ と表す。Xが円S上にある条件は、Bも円上にあることから $$|t\overrightarrow b-\overrightarrow{PO}|^2 =|\overrightarrow b-\overrightarrow{PO}|^2.$$ 左辺から右辺を引いて因数分解すると $$(t-1)\{(t+1)|\overrightarrow b|^2 -2\overrightarrow b\cdot\overrightarrow{PO}\}=0.$$ $t=1$ はBに対応するので、もう一つの交点Qは $$\displaystyle t=\frac{4|\overrightarrow a|\cos\theta-|\overrightarrow b|} {3|\overrightarrow b|}.$$ (2)より $t<0$。したがって $$\displaystyle PQ=-t|\overrightarrow b| =\frac{|\overrightarrow b|-4|\overrightarrow a|\cos\theta}{3}.$$

$(4)$ $\lambda=PQ/PB$ とおく。QはPからBと反対向きにあり、直線ABへの高さはPの高さの $1+\lambda$ 倍だから $$[QAB]=(1+\lambda)[PAB].$$ また、ABを1:2に内分するOを底辺AB上に持つので $\displaystyle [POB]=\frac23[PAB]$。与えられた面積条件から $$\displaystyle (1+\lambda)[PAB]=3\cdot\frac23[PAB],$$ ゆえに $\lambda=1$、つまり $PQ=PB=2$。 (3)に $PA=3,PB=2$ を代入すると $\cos\theta=-1/3$。三角形PABは退化しないため $\sin\theta>0$ で、 $$\displaystyle [PAB]=\frac12\cdot3\cdot2\cdot\sqrt{1-\frac19}=2\sqrt2.$$

答え

$(1)$ $\overrightarrow{PO}=(2\overrightarrow a+\overrightarrow b)/3,\quad \overrightarrow{PC}=(4\overrightarrow a-\overrightarrow b)/3,\quad \overrightarrow{OB}=2(\overrightarrow b-\overrightarrow a)/3.$ $(2)$ $\cos\theta<|\overrightarrow b|/(4|\overrightarrow a|)$. $(3)$ $PQ=(|\overrightarrow b|-4|\overrightarrow a|\cos\theta)/3$. $(4)$ $[PAB]=2\sqrt2$.