4九州大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(1) 球面の中心を $D=(x,y,z)$ とする。等距離条件 $OD=AD=BD=CD$ を二乗して展開し、$OD^2=AD^2,\ OD^2=BD^2,\ OD^2=CD^2$ を比較すると $$4y+6z=13,\qquad x+3z=5,\qquad 2x+4y=5.$$ 第2式から $x=5-3z$。これを第3式に代入して $4y-6z=-5$ を得る。第1式と足すと $8y=8$、すなわち $y=1$。よって $z=3/2$、$x=1/2$ であり、 $$\displaystyle D=\left(\frac12,1,\frac32\right).$$ 代入すると $OD^2=AD^2=BD^2=CD^2=7/2$ となり、4点から等距離であることも確かめられる。

(2) $\overrightarrow{AB}=(1,-2,0)$、$\overrightarrow{AC}=(1,0,-3)$ に垂直なベクトルとして $\vec n=(6,3,2)$ をとれる。実際、両内積は0であり、$|\vec n|=7$。平面 $ABC$ は点 $A$ を通るから $$6x+3(y-2)+2(z-3)=0,$$ すなわち $6x+3y+2z=12$。$D$ はこの平面から法線方向にある。$\overrightarrow{AD}=(1/2,-1,-3/2)$ で、$\overrightarrow{AD}\cdot\vec n=-3$ だから、単位法線方向の成分の大きさは $$\displaystyle DF=\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot\vec n|}{|\vec n|}=\frac37.$$

(3) $\theta=\angle BAC$ とする。$|\overrightarrow{AB}|^2=5$、$|\overrightarrow{AC}|^2=10$、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1$ より、$\cos\theta=1/\sqrt{50}$。三角形の面積公式 $\displaystyle S=\frac12|AB||AC|\sin\theta$ から $$\displaystyle S_{ABC}=\frac12\sqrt{|AB|^2|AC|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2} =\frac12\sqrt{5\cdot10-1}=\frac72.$$ 四面体を底面 $ABC$、高さ $DF$ の角錐として見ると $$\displaystyle V=\frac13S_{ABC}\,DF=\frac13\cdot\frac72\cdot\frac37=\frac12.$$

球面中心は4点からの距離を等しいとして線形方程式を解く。平面ABCの法線を内積で定め、ADの法線方向成分から点と平面の距離DFを求める。底面積は二辺とその内積から三角形の面積公式で計算し、底面積×高さで体積を得る。