1九州大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) 直線 $PH$ の傾きは $-1$ なので $y-\sqrt t=-(x-t)$。$y=x$ と連立して $$\displaystyle \boxed{H\left(\frac{t+\sqrt t}{2},\frac{t+\sqrt t}{2}\right)}.$$ (2) $Q=(t,t)$ とする。$t>1$ より、曲線・直線・縦線 $x=t$ で囲む面積は $$\displaystyle A=\int_1^t(x-\sqrt x)\,dx=\frac{t^2}{2}-\frac23t^{3/2}+\frac16.$$ ここから直角二等辺三角形 $QHP$ を除けばよい。二辺 $HQ,HP$ の長さはともに $(t-\sqrt t)/\sqrt2$ だから $$\displaystyle \boxed{S_1=A-\frac{(t-\sqrt t)^2}{4}=\frac{t^2}{4}-\frac{t^{3/2}}6-\frac t4+\frac16}.$$ (3) 曲線と直線は $x=0,1$ で交わるので $\displaystyle S_2=\int_0^1(\sqrt x-x)\,dx=1/6$。従って $S_1=S_2$ は $$t(3t-2\sqrt t-3)=0.$$ $t>1$ のもとで $u=\sqrt t>1$ とおくと $3u^2-2u-3=0$。適する根は $u=(1+\sqrt{10})/3$ だけであり、$\sqrt{10}>2$ より確かに $u>1$。ゆえに $$\displaystyle \boxed{t=\frac{11+2\sqrt{10}}9}.$$