5九州大学 2011年 数学 第5問解答・解説

1回の操作は6種類の数字対から等確率で1対を選ぶことに等しい。(1) 2回で元に戻るのは、2回目に1回目と同じ対を選ぶ場合に限る。よって確率は $\displaystyle \frac16$。 (2) 逆順にする交換は互いに素な交換 $(1,4),(2,3)$ であり、2回の順序が2通りある。36個の順序付き操作列のうち2通りなので $\displaystyle \frac2{36}=\frac1{18}$。 (3) $p_k$ をk回後にカード1が左端にある確率とする。現在左端にあれば次にもそこに残る確率は $3/6=1/2$。現在他の位置にあれば、左端のカードとの対を選んでカード1を左端へ動かす確率は $1/6$。したがって $$\displaystyle p_{k+1}=\frac12p_k+\frac16(1-p_k)=\frac13p_k+\frac16,\qquad p_0=1.$$ ゆえに $p_1=1/2,\ p_2=1/3$。 (4) 左端の数字がiのとき、次にそれを含まない3対なら数字iのまま、各別数字jへの交換は各1対ずつである。従って条件付き期待値は $$\displaystyle \frac12i+\frac16\sum\limits _{j\ne i}j=\frac{i+5}{3}.$$ 期待値を $E_k$ とすると $E_{k+1}=(E_k+5)/3,\ E_0=1$。よって $E_1=2, E_2=7/3, E_3=22/9$。

各回の6つの数字対は独立・一様に選ばれる。(1)(2)は二つの交換の合成を場合分けし、(3)はカード1の位置について遷移確率を立てた。(4)は現在の左端数字を条件に次の期待値を計算した。