2九州大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) 積の微分法により$$f'(x)=(2x+2)e^{-x}-(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}=(a^2-x^2)e^{-x}=(a-x)(a+x)e^{-x}.$$ここで$e^{-x}>0$であり、$a>0$だから、$x<-a$および$x>a$で$f'(x)<0$、$-a<x<a$で$f'(x)>0$である。したがって$x=-a$で極小、$x=a$で極大となる。$$f(-a)=2(1-a)e^a,\qquad f(a)=2(a+1)e^{-a}.$$よって極小値は$2(1-a)e^a$、極大値は$2(a+1)e^{-a}$である。

(2)$g(x)=x^3e^{-x}$とおくと、$$g'(x)=x^2(3-x)e^{-x}.$$$x\geq3$では$g'(x)\leq0$だから、$g$はこの範囲で減少し、$$x^3e^{-x}=g(x)\leq g(3)=27e^{-3}$$を得る。また、$x\geq3$で$$\displaystyle 0\leq x^2e^{-x}=\frac{x^3e^{-x}}{x}\leq\frac{27e^{-3}}{x}.$$右端は$x\to\infty$で$0$に収束するので、はさみうちにより$\displaystyle\lim\limits _{x\to\infty}x^2e^{-x}=0$である。

(3) 二つのグラフの交点の$x$座標は$$x^2+2x+2=ke^x+a^2\quad\text{すなわち}\quad (x^2+2x+2-a^2)e^{-x}=k$$を満たす。

左辺は(1)の$f(x)$であるから、$f(x)=k$の異なる実数解の個数を調べればよい。$f'(x)=(a^2-x^2)e^{-x}$より、$f$は$x<-a$で減少し、$-a<x<a$で増加し、$x>a$で減少する。また、$$\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=+\infty,\quad f(-a)=m:=2(1-a)e^a,\quad f(a)=M:=2(a+1)e^{-a},\quad \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0.$$ここで$M>0$であり、

$x>a$では$x^2+2x+2-a^2=(x-a)(x+a)+2x+2>0$なので、$f$の三つの開区間上の値域はそれぞれ$f(x)>m$、$m<f(x)<M$、$0<f(x)<M$である。したがって、三つの開区間のそれぞれに$f(x)=k$の解が一つずつある条件は$$k>m,\quad m<k<M,\quad 0<k<M,$$すなわち$\displaystyle \max\{0,m\}<k<M$である。

端点$x=-a,a$で水平線が接するときは三つの異なる交点にはならない。以上より、求める必要十分条件は$$\displaystyle \boxed{\max\{0,2(1-a)e^a\}<k<2(a+1)e^{-a}}$$である。