2東京大学 2008年 数学 第2問解答・解説

白カードの枚数を $X_t$、初めて全枚が同色になる時刻を $T$ とする。白が $i$ 枚、合計 $k$ 枚なら、次の操作で $i-1$ 枚になる確率は $i/k$、$i+1$ 枚になる確率は $(k-i)/k$。枚数の偶奇は操作ごとに入れ替わる。

(1) $k=4,\ X_0=2$。未吸収なら偶数時刻に白は2枚である。そこから次の2操作で吸収する確率は $1/4$、2枚へ戻る確率は $3/4$。したがって $$\displaystyle P(T=2r+2)=\frac14\left(\frac34\right)^r\quad(r=0,1,2,\ldots).$$ 奇数時刻に初めて同色となる確率は0。

(2) $k=6,\ X_0=3$。吸収時刻は奇数で、偶数時刻 $2r$ の未吸収状態は白1枚、3枚、5枚である。$c_r=P(X_{2r}=3,T>2r)$、$o_r=P(X_{2r}=1\text{ または }X_{2r}=5,T>2r)$ とおくと $c_0=1,o_0=0$。2操作の遷移は $$\displaystyle o_{r+1}=\frac13c_r+\frac5{18}o_r,\qquad c_{r+1}=\frac23c_r+\frac59o_r.$$ 初回に $c_1=2/3,o_1=1/3$。以後 $o_r=c_r/2$ が保たれ、よって $$\displaystyle c_{r+1}=\frac{17}{18}c_r,\qquad o_r=\frac13\left(\frac{17}{18}\right)^{r-1}\quad(r\ge1).$$ 白1枚または5枚から次の1操作で吸収する確率は $1/6$ なので $$\displaystyle P(T=2r+1)=\frac1{18}\left(\frac{17}{18}\right)^{r-1}\quad(r=1,2,\ldots).$$ この場合、時刻1と偶数時刻に初めて吸収する確率は0。