1東京大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) 点 $(x,y)$ の移動後を $(X,Y)=f(x,y)$ とする。$X=3x+y$, $Y=-2x$ だから $$\displaystyle x=-\frac{Y}{2},\qquad y=X+\frac{3Y}{2}.$$ 点 $(x,y)$ が $l_n$ 上にある条件を移動後の座標で書き直すと $$\displaystyle a_n\left(-\frac{Y}{2}\right)+b_n\left(X+\frac{3Y}{2}\right)=1,$$ すなわち $\displaystyle b_nX+\frac{3b_n-a_n}{2}Y=1$ である。よって $$\displaystyle \boxed{a_{n+1}=b_n,\qquad b_{n+1}=\frac{3b_n-a_n}{2}}.$$ 初期値は $a_0=3, b_0=2$。$a_{n+1}=b_n$ より $$\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=\frac12(a_{n+1}-a_n).$$ $d_n=a_{n+1}-a_n$ とおけば $d_0=-1$ なので $d_n=-2^{-n}$。従って $$\displaystyle a_n=3-\sum\limits _{k=0}^{n-1}2^{-k}=1+2^{1-n},\qquad b_n=a_{n+1}=1+2^{-n}.$$

(2) $t=2^{-n}$ とおくと $0<t\le1$ であり、 $$a_nx+b_ny=(x+y)+t(2x+y)=(1-t)(x+y)+t(3x+2y).$$ この式が全ての $n\ge0$ で $1$ より大きいなら、$n=0$ から $3x+2y>1$。また $t\to0$ のとき左辺は $x+y$ に近づくので $x+y\ge1$ でなければならない。逆にこの2条件が成り立てば、$x+y\ge1$, $3x+2y>1$ の加重平均である上式は、$0<t\le1$ のすべてで $1$ より大きい。よって求める領域は $$\boxed{x+y\ge1,\qquad 3x+2y>1}.$$ 境界線の交点は $(-1,2)$。直線 $x+y=1$ 上では $x>-1$ の半直線が含まれる。一方、直線 $3x+2y=1$ 上で $x+y\ge1$ も満たすのは $x\le-1$ の半直線だが、厳密不等号のため含まれない。従って交点も含まれない。図では、求める共通領域を網掛けする。