4福井大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおく。与えられた対応から $$2a+b=4,\quad 2c+d=2,\quad -a+b=1,\quad -c+d=-1.$$ これを解くと $a=1,b=2,c=1,d=0$ だから $$\boxed{M=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}}.$$

(2) $P=(x,y)\ne(0,0)$ とすると $Q=(x+2y,x)$ である。$x\ne0$ の場合に $t=y/x$ とおくと $$\displaystyle \left(\frac{OQ}{OP}\right)^2 =\frac{(x+2y)^2+x^2}{x^2+y^2} =F(t):=\frac{4t^2+4t+2}{t^2+1}.$$ 微分すると $$\displaystyle F'(t)=\frac{4(-t^2+t+1)}{(t^2+1)^2}.$$ したがって臨界点は $\displaystyle t_-=\dfrac{1-\sqrt5}{2}$、$\displaystyle t_+=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ であり、$F$ は $t<t_-$ で減少、$t_-<t<t_+$ で増加、$t>t_+$ で減少する。臨界点では $t^2=t+1$ なので $$\displaystyle F(t)=\frac{8t+6}{t+2},\qquad F(t_-)=3-\sqrt5,\quad F(t_+)=3+\sqrt5.$$ また $\displaystyle \lim\limits _{t\to\pm\infty}F(t)=4$ はこの2値の間にある。$x=0$ のときも比の二乗は $4$ である。よって取り得る範囲は $$\displaystyle \boxed{3-\sqrt5\le\left(\frac{OQ}{OP}\right)^2\le3+\sqrt5}.$$

(3) $A_n=(x_n,y_n)$ とおくと、(1)から $$x_{n+1}=x_n+2y_n,\qquad y_{n+1}=x_n, \quad (x_0,y_0)=(0,1).$$ よって $x_1=2$ であり、$n\ge1$ では $y_n=x_{n-1}$ だから $$x_{n+1}=x_n+2x_{n-1}.$$ この漸化式の特性方程式は $r^2-r-2=0$、すなわち $(r-2)(r+1)=0$ である。初期値 $x_0=0,x_1=2$ を用いて $$\displaystyle x_n=\frac23\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).$$ したがって $n\ge1$ で $\displaystyle y_n=x_{n-1}=\dfrac13\bigl(2^n+2(-1)^n\bigr)$ となり、この式は $n=0$ でも $y_0=1$ を与える。ゆえに $$\displaystyle \boxed{A_n=\left(\frac23(2^n-(-1)^n),\ \frac13(2^n+2(-1)^n)\right)}.$$ $n$ が奇数なら $(-1)^n=-1$ なので $$\displaystyle y_n=\frac{2^n-2}{3}=\frac{x_n}{2}-1.$$ 従ってすべての奇数添字の点 $A_1,A_3,\ldots$ は直線 $\displaystyle y=\dfrac{x}{2}-1$ 上にある。