1福井大学 2009年 数学 第1問解答・解説

点 $A$ を原点とする斜交座標を用いる。$B=\vec a$, $D=\vec b$, $C=\vec a+\vec b$, $E=\vec c$, $F=\vec a+\vec c$, $H=\vec b+\vec c$ である。各辺の始点から比 $t:(1-t)$ に内分するので $$\begin{aligned} P_1&=\vec a+t\vec b,&P_2&=(1-t)\vec a+\vec b,&P_3&=\vec b+t\vec c,\\ P_4&=(1-t)\vec b+\vec c,&P_5&=t\vec a+\vec c,&P_6&=\vec a+(1-t)\vec c. \end{aligned}$$

(1) 座標を対ごとに足すと $$P_1+P_4=P_2+P_5=P_3+P_6=\vec a+\vec b+\vec c.$$ よって3本の線分の中点は一致し、その中点を $M$ とすれば $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{AM}=\frac12(\vec a+\vec b+\vec c)}.$$

(2) まず $P_1,P_2,P_3$ は一直線上にない。実際、$\overrightarrow{P_1P_2}$ の $\vec c$ の係数は0、$\overrightarrow{P_1P_3}$ の $\vec c$ の係数は $t\ne0$ なので、この2ベクトルは比例しない。したがって4点が同一平面上にあるための条件は、$\overrightarrow{P_1P_5}$ が $\overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_3}$ の一次結合で表せることである。$\vec a,\vec b,\vec c$ は平行六面体の辺ベクトルなので互いに独立であり、係数を比較して判定できる。 $$\begin{aligned} \overrightarrow{P_1P_2}&=-t\vec a+(1-t)\vec b,\\ \overrightarrow{P_1P_3}&=-\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c,\\ \overrightarrow{P_1P_5}&=(t-1)\vec a-t\vec b+\vec c. \end{aligned}$$ $\overrightarrow{P_1P_5}=\lambda\overrightarrow{P_1P_2}+\mu\overrightarrow{P_1P_3}$ とおく。$\vec c,\vec a,\vec b$ の係数を順に比較すると $$\mu t=1,\qquad -\lambda t-\mu=t-1,\qquad (\lambda+\mu)(1-t)=-t.$$ 初めの2式から $\mu=1/t$, $\lambda=(t-t^2-1)/t^2$。これを最後の式に代入して $$\displaystyle -\frac{(1-t)^3}{t^2}=-t, \quad\text{すなわち}\quad (1-t)^3=t^3.$$ $0<t<1$ だから $1-t=t$、従って $\boxed{t=1/2}$。逆に $t=1/2$ では $\lambda=-3,\mu=2$ が上の三つの係数式を満たすので、この値で4点は同一平面上にある。

$t=1/2$ のとき、6点の斜交座標は $$P_1=(1,1/2,0),\ P_2=(1/2,1,0),\ P_3=(0,1,1/2),\ P_4=(0,1/2,1),\ P_5=(1/2,0,1),\ P_6=(1,0,1/2).$$ どの点も係数の和が $3/2$ なので、全て平面 $x+y+z=3/2$ 上にある。

(3) $q=\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a$ とおく。$t=1/2$ では $$\displaystyle \overrightarrow{P_1P_2}=\frac{\vec b-\vec a}{2},\quad \overrightarrow{P_1P_3}=\frac{-2\vec a+\vec b+\vec c}{2},\quad \overrightarrow{P_2P_1}=\frac{\vec a-\vec b}{2},\quad \overrightarrow{P_2P_3}=\frac{\vec c-\vec a}{2}.$$ 各辺の長さは1であるから、内積を展開して $$\displaystyle P_1P_2^2=\frac{1-q}{2},\qquad P_1P_3^2=\frac{3(1-q)}{2}.$$ ゆえに $\boxed{P_1P_2:P_1P_3=1:\sqrt3}$。また $$\displaystyle \overrightarrow{P_2P_1}\cdot\overrightarrow{P_2P_3}=\frac{q-1}{4},\qquad |\overrightarrow{P_2P_1}|\,|\overrightarrow{P_2P_3}|=\frac{1-q}{2},$$ より $\cos\angle P_1P_2P_3=-1/2$。したがって $\boxed{\angle P_1P_2P_3=120^\circ}$。

平行六面体の辺ベクトルを基底にした斜交座標で内分点を表示する。(2)では行列式による共面判定を引用せず、3点の張る平面上のベクトル表示を未知係数でおき、独立な辺ベクトルの係数比較で条件を導く。(3)は辺間内積を共通の値で表して長さと角を求める。詳しい解答はsolution_latexに記載。