3群馬大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 正六角形の辺長が1なので $AB=BC=1$、また $\angle ABC=120^\circ$ より余弦定理から $AC=\sqrt3$。位置ベクトルについて $$\displaystyle \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=\frac{|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2-|\overrightarrow a-\overrightarrow b|^2}{2}=\frac{4+4-1}{2}=\frac72,$$ $$\displaystyle \overrightarrow a\cdot\overrightarrow c=\frac{|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow c|^2-|\overrightarrow a-\overrightarrow c|^2}{2}=\frac{4+4-3}{2}=\frac52.$$

(2) 底面の中心をGとし、$\mathbf g=\overrightarrow{OG}$、$\mathbf u_X=\overrightarrow{GX}$ とする。正六角形の対頂点より $\mathbf u_B=-\mathbf u_E$、またA,C,Eは一つおきの頂点なので $\mathbf u_A+\mathbf u_C+\mathbf u_E=\mathbf0$。従って $$\overrightarrow a+\overrightarrow c+\overrightarrow e=3\mathbf g,\qquad \overrightarrow b+\overrightarrow e=2\mathbf g,$$ ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow b=2\mathbf g-\overrightarrow e=\frac{2\overrightarrow a+2\overrightarrow c-\overrightarrow e}{3}.$$

(3) 面OABとOBCを共通辺OBに沿って展開し、OBをx軸、O=(0,0)、B=(2,0)とする。各面の底辺は1、二つの側辺は2だから、展開後の頂点は $A'=(7/4,\sqrt{15}/4)$、$C'=(7/4,-\sqrt{15}/4)$ となる（それぞれ $OA'^2=4$、$A'B^2=1$ などから求まる）。従って $M'=(7/8,\sqrt{15}/8)$。線分M'C'がx軸と交わる点をXとすると、$M'+s(C'-M')$ のy座標が0となるのは $s=1/3$ のときであり、$OX=7/8+(1/3)(7/4-7/8)=7/6$。これは辺OB上にある。展開では長さが保たれ、三角不等式 $M'P+PC'\ge M'C'$ の等号がこのXで成立するので、最小となるPはXであり $OP=7/6$。

(4) (2),(3)より、$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{OP}{OB}\overrightarrow b=\frac7{12}\overrightarrow b=\frac7{18}\overrightarrow a+\frac7{18}\overrightarrow c-\frac7{36}\overrightarrow e$。A,C,Eは底面上の非一直線の三点で、Oは底面上にないので $\overrightarrow a,\overrightarrow c,\overrightarrow e$ は一次独立である。平面MCE上の点は $\lambda M+\mu C+\nu E$（$\lambda+\mu+\nu=1$）と表せる。もしPがこの平面上なら独立性から係数比較により $$\displaystyle \lambda=\frac79,\quad \mu=\frac7{18},\quad \nu=-\frac7{36},$$ となるが、$\lambda+\mu+\nu=35/36\ne1$。矛盾するのでPは平面MCE上にない。