I鳥取大学 2007年 数学 第I問解答・解説

三角形 $ABC$ で $BC=a$、$CA=b$、$AB=c$ とし、$X$ は $BC$ を $m:n$ に内分する点、$AX=p$ とする。

(1) $BX:XC=m:n$ かつ $BX+XC=a$ だから $$\displaystyle \boxed{BX=\frac{am}{m+n}},\qquad \boxed{CX=\frac{an}{m+n}}.$$

(2) 三角形 $AXC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle b^2=p^2+\left(\frac{an}{m+n}\right)^2 -2p\frac{an}{m+n}\cos\theta.$$ これを $\cos\theta$ について解いて $$\displaystyle \boxed{\cos\theta= \frac{p^2+\left(\frac{an}{m+n}\right)^2-b^2} {2p\frac{an}{m+n}}}.$$

(3) $s=m+n$ とおく。三角形 $AXC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle b^2=p^2+\frac{n^2a^2}{s^2}-2p\frac{na}{s}\cos\theta.$$ 一方、$\angle AXB=\pi-\theta$ なので三角形 $ABX$ では $$\displaystyle \begin{aligned} c^2 &=p^2+\frac{m^2a^2}{s^2}-2p\frac{ma}{s}\cos(\pi-\theta)\\ &=p^2+\frac{m^2a^2}{s^2}+2p\frac{ma}{s}\cos\theta. \end{aligned}$$ 第1式を $\displaystyle \frac{m}{s}$ 倍、第2式を $\displaystyle \frac{n}{s}$ 倍して加えると、余弦を含む項が相殺される。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{m}{s}b^2+\frac{n}{s}c^2 &=p^2+\frac{mn^2+nm^2}{s^3}a^2\\ &=p^2+\frac{mn}{s^2}a^2, \end{aligned}$$ よって求める等式が成り立つ。

(4) まず $P$、$Q$ の内分比から $$\displaystyle \overrightarrow{BP}=\frac13\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{BQ} =\overrightarrow{BA}+\frac13\overrightarrow{AC} =\frac23\overrightarrow{BA}+\frac13\overrightarrow{BC}.$$ $\boldsymbol u=\overrightarrow{BA}$、$\boldsymbol v=\overrightarrow{BC}$ とおき、$R$ が $BQ$ 上にあることから $\overrightarrow{BR}=t\overrightarrow{BQ}$ とする。また $R$ が $AP$ 上にもあるので、ある $w$ に対し $$\displaystyle \overrightarrow{BR} =\overrightarrow{BA}+w\overrightarrow{AP} =(1-w)\boldsymbol u+\frac{w}{3}\boldsymbol v.$$ 他方 $$\displaystyle \overrightarrow{BR}=\frac{2t}{3}\boldsymbol u+\frac{t}{3}\boldsymbol v.$$ $\boldsymbol u,\boldsymbol v$ は三角形の二辺のベクトルなので一次独立であり、係数を比べて $t=w$、$\displaystyle \frac{2t}{3}=1-w$ を得る。よって $\displaystyle t=\frac35$、すなわち $\displaystyle BR=\frac35 BQ$。

(3)を頂点 $B$、底辺 $AC$ の三角形に適用する。ここでは底辺長が $b=6$、他の二辺が $a=7$、$c=5$ で、$AQ:QC=1:2$ だから $$\displaystyle BQ^2+\frac{2}{9}b^2=\frac13a^2+\frac23c^2 =\frac{49}{3}+\frac{50}{3}=33.$$ したがって $BQ^2=33-8=25$、長さより $BQ=5$。結局 $$\displaystyle \boxed{BR=\frac35\cdot5=3}.$$

内分比で各辺を表し、余弦定理を重み付きで加えて一般式を示す。交点の内分比は二つの辺ベクトルの係数比較で求め、一般式から $BQ$ を計算する。