II鳥取大学 2007年 数学 第II問解答・解説

座標をそれぞれ微分すると、速度と加速度は $$\displaystyle \vec v(t)=\left(\frac{e^t-e^{-t}}2,\frac{e^t+e^{-t}}2\right),\qquad \vec\alpha(t)=\left(\frac{e^t+e^{-t}}2,\frac{e^t-e^{-t}}2\right)$$ である。

内積と二乗ノルムを計算すると $$\displaystyle \vec v\cdot\vec\alpha=\frac{e^{2t}-e^{-2t}}2,\qquad |\vec v|^2=|\vec\alpha|^2=\frac{e^{2t}+e^{-2t}}2.$$ 右辺は正なので、$|\vec v||\vec\alpha|=(e^{2t}+e^{-2t})/2$。したがって $$\displaystyle \cos\theta(t)=\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{e^{2t}+e^{-2t}}.$$ ここで $D(t)=e^{2t}+e^{-2t}>0$ と置けば、$(\log D(t))'=2\cos\theta(t)$ である。よって $$\displaystyle \int_0^1\cos\theta(t)\,dt =\frac12\left[\log(e^{2t}+e^{-2t})\right]_0^1 =\frac12\log\left(\frac{e^2+e^{-2}}2\right).$$

答え

$$\displaystyle \begin{aligned} \vec v(t)&=\left(\frac{e^t-e^{-t}}2,\frac{e^t+e^{-t}}2\right),\\ \vec\alpha(t)&=\left(\frac{e^t+e^{-t}}2,\frac{e^t-e^{-t}}2\right),\\ \cos\theta(t)&=\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{e^{2t}+e^{-2t}},\\ \int_0^1\cos\theta(t)\,dt&=\frac12\log\left(\frac{e^2+e^{-2}}2\right). \end{aligned}$$