5日本大学 2018年 数学 第5問解答・解説

(1) 平面 $ABC$ は $4x+2y+z=4$ と表せ, 法線ベクトルは $(4,2,1)$ である。垂線の足 $H$ は原点からの法線方向上にあるため $H=t(4,2,1)$ とおける。これを平面の式に代入すると $21t=4$, よって $\displaystyle H=(\frac{16}{21},\frac8{21},\frac4{21})$。

(2) 高さ $z=a$ で三角形 $T$ を切ると, $xy$ 平面上の線分は $4x+2y=4-a$, $x,y\geq0$ である。$d=4-a$ とおくと線分の端点は $\displaystyle (\frac d4,0)$ と $\displaystyle (0,\frac d2)$ なので, 回転後の外半径は $\displaystyle \frac d2$。原点から直線 $4x+2y=d$ への垂線の足は $\displaystyle (\frac d5,\frac d{10})$ で, この点は線分上にあるから内半径は $\displaystyle \sqrt{(\frac d5)^2+(\frac d{10})^2}=\frac d{2\sqrt5}$。断面はこの二つの半径の間の円環である。したがって $$\displaystyle S(a)=\pi\left\{\left(\frac d2\right)^2-\left(\frac d{2\sqrt5}\right)^2\right\}=\frac{\pi(4-a)^2}{5}\qquad(0\leq a\leq4).$$

(3) $1\leq z\leq3$ では $S(z)>0$ であり, $\displaystyle S^{\prime}(z)=-\frac{2\pi}{5}(4-z)$。よって $$\displaystyle \int_1^3\frac{S^{\prime}(z)}{S(z)}\,dz=\int_1^3\frac{-2}{4-z}\,dz=\left[2\ln(4-z)\right]_1^3=-2\ln3.$$